Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).

1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE².

3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

1) Theo giả thiết ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) nên: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABO} = 90^\circ \\\widehat {ACO} = 90^\circ \end{array} \right.\]

Xét tứ giác ABOC có: \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Mà 2 góc này là hai góc đối diện

Nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Vậy A, B, O, C cùng nằm trên 1 đường tròn.

2) Gọi H là giao điểm AO và BC

Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Nên A thuộc đường trung trực của BC (1)

OB = OC = R nên O thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1), (2): OA là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC = {H}

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, ta có:

OB² = OH.OA

Lại có OB = OE = R

Nên: OE² = OH.OA

3) Theo phần b ta có: OE² = OH.OA ⇒ \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\)

Xét tam giác OEA và tam giác OHE có:

Chung \(\widehat O\)

\(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\)

⇒ ∆OEA ∽ ∆OHE (c.g.c)

⇒ \(\widehat {OEA} = \widehat {OHE}\)(2 góc tương ứng)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {FEO} = 180^\circ - \widehat {OEA}\\\widehat {EHA} = 180^\circ - \widehat {OHE}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {FEO} = \widehat {EHA}\)

Mặt khác:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {SOE} = 90^\circ - \widehat {FEO}\\\widehat {SHE} = 90^\circ - \widehat {EHA}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SOE} = \widehat {SHE}\)

Xét tứ giác SOHE có: \(\widehat {SOE} = \widehat {SHE}\) cùng chắn cung SE

Suy ra: SOHE nội tiếp

⇒ \(\widehat {SEO} = \widehat {SHO} = 90^\circ \)

Xét tam giác SFO và tam giác SEO có:

SO chung

SF = SE

OF = OE = R

⇒ ∆SFP = ∆SEO (c.c.c)

⇒ \(\widehat {SFO} = \widehat {SEO} = 90^\circ \)

⇒ SF ⊥ OF tại F

Vậy SF là tiếp tuyến của (O).