Câu hỏi:
29/01/2024 713
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).
1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE2.
3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).
1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE2.
3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Theo giả thiết ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) nên: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABO} = 90^\circ \\\widehat {ACO} = 90^\circ \end{array} \right.\]
Xét tứ giác ABOC có: \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Mà 2 góc này là hai góc đối diện
Nên ABOC là tứ giác nội tiếp
Vậy A, B, O, C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2) Gọi H là giao điểm AO và BC
Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Nên A thuộc đường trung trực của BC (1)
OB = OC = R nên O thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1), (2): OA là đường trung trực của BC
⇒ OA ⊥ BC = {H}
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, ta có:
OB2 = OH.OA
Lại có OB = OE = R
Nên: OE2 = OH.OA
3) Theo phần b ta có: OE2 = OH.OA ⇒ \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\)
Xét tam giác OEA và tam giác OHE có:
Chung \(\widehat O\)
\(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\)
⇒ ∆OEA ∽ ∆OHE (c.g.c)
⇒ \(\widehat {OEA} = \widehat {OHE}\)(2 góc tương ứng)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {FEO} = 180^\circ - \widehat {OEA}\\\widehat {EHA} = 180^\circ - \widehat {OHE}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {FEO} = \widehat {EHA}\)
Mặt khác:
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {SOE} = 90^\circ - \widehat {FEO}\\\widehat {SHE} = 90^\circ - \widehat {EHA}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SOE} = \widehat {SHE}\)
Xét tứ giác SOHE có: \(\widehat {SOE} = \widehat {SHE}\) cùng chắn cung SE
Suy ra: SOHE nội tiếp
⇒ \(\widehat {SEO} = \widehat {SHO} = 90^\circ \)
Xét tam giác SFO và tam giác SEO có:
SO chung
SF = SE
OF = OE = R
⇒ ∆SFP = ∆SEO (c.c.c)
⇒ \(\widehat {SFO} = \widehat {SEO} = 90^\circ \)
⇒ SF ⊥ OF tại F
Vậy SF là tiếp tuyến của (O).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
28,561
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
23,803
Câu 3:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,922
Câu 4:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,589
Câu 5:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,120
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Xem đáp án »
13/07/2024
2,922
về câu hỏi!