Câu hỏi:
29/01/2024 558Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi \(\frac{b}{{\cos B}} + \frac{c}{{\cos C}} = \frac{a}{{\sin B.\sin C}}\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
\(\frac{b}{{\cos B}} + \frac{c}{{\cos C}} = \frac{a}{{\sin B.\sin C}}\)
⇔ \(\frac{b}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} + \frac{c}{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}} = \frac{{abc}}{{\sin B.\sin C.bc}}\)
⇔ \(\frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}} + \frac{{2abc}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = \frac{a}{{bc}}.\frac{b}{{\sin B}}.\frac{c}{{\sin C}}\)
⇔ \[\frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}} + \frac{{2abc}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = \frac{{4a{R^2}}}{{bc}}\]
⇔ \[\frac{{4{a^3}bc}}{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}} = \frac{{4a{R^2}}}{{bc}}\]
⇔ \[\frac{{{a^2}bc}}{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}} = \frac{{{R^2}}}{{bc}}\]
⇔ R2(a2 + c2 – b2)(a2 + b2 – c2) = (abc)2
⇔ \(\frac{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right).R}}{{abc}}.\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right).R}}{{abc}} = 1\)
⇔\(\frac{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{2ac}}.\frac{{2R}}{b}.\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2ab}}.\frac{{2R}}{c} = 1\)
Mà \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Suy ra: \(\frac{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{2ac}}.\frac{{2R}}{b}.\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2ab}}.\frac{{2R}}{c} = 1\)
⇔ \(\frac{{\cos B}}{{\sin B}}.\frac{{\cos C}}{{\sin C}} = 1\)
⇔ cotB.cotC = 1
⇔ cotB = \(\frac{1}{{\cot C}} = \tan C\)
Suy ra: tam giác ABC vuông vì khi góc \[\widehat B,\widehat C\]phụ nhau thì tan góc này bằng cotan góc kia.
Vậy tam giác ABC vuông khi \(\frac{b}{{\cos B}} + \frac{c}{{\cos C}} = \frac{a}{{\sin B.\sin C}}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Câu 2:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Câu 3:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Câu 4:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Câu 6:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Câu 7:
Một vé xem phim có mức giá là 60000 đồng. Trong dịp khuyến mãi cuối năm 2018, số lượng người xem phim tăng lên 45% nên tổng doanh thu cũng tăng 8,75%. Hỏi rạp phim đã giảm giá mỗi vé bao nhiêu % so với giá bán ban đầu?
về câu hỏi!