Câu hỏi:

29/01/2024 1,186

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi \(\frac{b}{{\cos B}} + \frac{c}{{\cos C}} = \frac{a}{{\sin B.\sin C}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

\(\frac{b}{{\cos B}} + \frac{c}{{\cos C}} = \frac{a}{{\sin B.\sin C}}\)

\(\frac{b}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} + \frac{c}{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}} = \frac{{abc}}{{\sin B.\sin C.bc}}\)

\(\frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}} + \frac{{2abc}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = \frac{a}{{bc}}.\frac{b}{{\sin B}}.\frac{c}{{\sin C}}\)

\[\frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}} + \frac{{2abc}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = \frac{{4a{R^2}}}{{bc}}\]

\[\frac{{4{a^3}bc}}{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}} = \frac{{4a{R^2}}}{{bc}}\]

\[\frac{{{a^2}bc}}{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}} = \frac{{{R^2}}}{{bc}}\]

R2(a2 + c2 – b2)(a2 + b2 – c2) = (abc)2

\(\frac{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right).R}}{{abc}}.\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right).R}}{{abc}} = 1\)

\(\frac{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{2ac}}.\frac{{2R}}{b}.\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2ab}}.\frac{{2R}}{c} = 1\)

\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Suy ra: \(\frac{{\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{2ac}}.\frac{{2R}}{b}.\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2ab}}.\frac{{2R}}{c} = 1\)

\(\frac{{\cos B}}{{\sin B}}.\frac{{\cos C}}{{\sin C}} = 1\)

cotB.cotC = 1

cotB = \(\frac{1}{{\cot C}} = \tan C\)

Suy ra: tam giác ABC vuông vì khi góc \[\widehat B,\widehat C\]phụ nhau thì tan góc này bằng cotan góc kia.

Vậy tam giác ABC vuông khi \(\frac{b}{{\cos B}} + \frac{c}{{\cos C}} = \frac{a}{{\sin B.\sin C}}\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Xem đáp án » 13/07/2024 31,961

Câu 2:

Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?

Xem đáp án » 13/07/2024 26,413

Câu 3:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Xem đáp án » 13/07/2024 22,713

Câu 4:

1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?

Xem đáp án » 13/07/2024 13,178

Câu 5:

Khai triển hằng đẳng thức a4 + b4

Xem đáp án » 13/07/2024 9,133

Câu 6:

Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

Xem đáp án » 13/07/2024 8,786

Câu 7:

Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\)\(\widehat {ACE}\).

Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).ho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính góc ACD và góc ACE (ảnh 1)

Xem đáp án » 13/07/2024 5,733
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua