Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x. a) 9x2 – 6x + 2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1.

a) 9x2 – 6x + 2 = (3x – 1)2 + 1 Vì (3x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên (3x – 1)2 + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x Vậy 9x2 – 6x + 2 > 0 với mọi x. b) x2 + x + 1 = ({ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ) Vì ({ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} ge 0, forall x ) nên ({ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ge frac{3}{4} > 0, forall x ) Vậy x2 + x + 1 > 0 với mọi x. c) 2x2 + 2x + 1 = (2 left( {{x^2} + x + frac{1}{2}} right) = 2{ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{1}{2} ) Vì (2{ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} ge 0, forall x ) nên (2{ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{1}{2} ge frac{1}{2} > 0, forall x ) Vậy 2x2 + 2x + 1 > 0 với mọi x.

Câu hỏi:

19/08/2025 4,143

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.

a) 9x² – 6x + 2;

b) x² + x + 1;

c) 2x² + 2x + 1.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) 9x² – 6x + 2 = (3x – 1)² + 1

Vì (3x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên (3x – 1)² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x

Vậy 9x² – 6x + 2 > 0 với mọi x.

b) x² + x + 1 = \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\forall x\)

Vậy x² + x + 1 > 0 với mọi x.

c) 2x² + 2x + 1 = \(2\left( {{x^2} + x + \frac{1}{2}} \right) = 2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\)

Vì \(2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \(2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} > 0,\forall x\)

Vậy 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi x.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?

Lời giải

Tính được: 270° = \(\frac{{270}}{{180}}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}.2\pi \)

Vậy đu quay được góc 270° khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng

Ta có: đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút

Vậy đu quay đu được \(\frac{3}{4}\) vòng trong: \(\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) phút.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác (ảnh 1)

Xét ADFC có: \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)(Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ \(\widehat {DFA} = \widehat {DCA}\)(cùng chắn cung AD) hay \(\widehat {DFA} = \widehat {BCA}\)

Mà \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(góc nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat {DFA} = \widehat {BKA}\)

Mà 2 góc \(\widehat {DFA};\widehat {BKA}\)ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Câu 3