Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và \(\widehat {BAC}\)= 60°. Gọi M, N, P theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác INP đều.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta thấy ΔBNC và ΔBPC là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B, P, N, C nằm trên đường tròn tâm I, đường kính BC.

Khi đó IN = IP ⇒ ΔINP cân tại I (1)

Tam giác ABN vuông tại N có: \(\widehat {ABN} + \widehat {BAN} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {ABN} = 90^\circ - \widehat {BAN} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

Ta có \(\widehat {PBN}\) là góc nội tiếp và \(\widehat {PIN}\)là góc ở tâm cùng chắn cung

Do đó \(\widehat {PIN} = 2\widehat {PBN} = 60^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔINP đều.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Tính được: 270° = \(\frac{{270}}{{180}}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}.2\pi \)

Vậy đu quay được góc 270° khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng

Ta có: đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút

Vậy đu quay đu được \(\frac{3}{4}\) vòng trong: \(\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) phút.

Câu 2

Lời giải

Xét ADFC có: \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)(Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ \(\widehat {DFA} = \widehat {DCA}\)(cùng chắn cung AD) hay \(\widehat {DFA} = \widehat {BCA}\)

Mà \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(góc nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat {DFA} = \widehat {BKA}\)

Mà 2 góc \(\widehat {DFA};\widehat {BKA}\)ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Câu 3