Câu hỏi:
13/07/2024 764
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\frac{P}{3} = \frac{{{x^2} + 2xy - {y^2}}}{{4{x^2} + 2xy + {y^2}}}\) (*)
Xét y = 0 thì x2 = \(\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra: \[\left[ \begin{array}{l}P = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.0 - {0^2} = \frac{3}{4}\\P = {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.} \right)0 - {0^2} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\]
Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: \(\frac{P}{3} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} - 1}}{{4{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} + 1}}\)
Đặt \(\frac{x}{y} = a \Rightarrow \frac{P}{3} = \frac{{{a^2} + 2a - 1}}{{4{a^2} + 2a + 1}}\)
* Xét \(\frac{P}{3} - \left( { - 2} \right) = \frac{{{a^2} + 2a - 1}}{{4{a^2} + 2a + 1}} + 2 = \frac{{{{\left( {3a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}}\)
Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên \(\frac{{{{\left( {3a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}} \ge 0\)
Suy ra: \(\frac{P}{3} - \left( { - 2} \right) \ge 0 \Rightarrow P \ge - 6\)
Vậy GTNN của P là –6 khi 3a + 1 = 0 hay a = \(\frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow - 3x = y\)
Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\\x = - \frac{{\sqrt {21} }}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3\sqrt {21} }}{7}\\y = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\end{array} \right.\]
Vậy GTNN của P là –6 khi (x; y) = \(\left( {\frac{{\sqrt {21} }}{7};\frac{{ - 3\sqrt {21} }}{7}} \right);\left( { - \frac{{\sqrt {21} }}{7};\frac{{3\sqrt {21} }}{7}} \right)\)
* Xét \(\frac{P}{3} - \frac{1}{3} = \frac{{{a^2} + 2a - 1}}{{4{a^2} + 2a + 1}} - \frac{1}{3} = \frac{{ - {{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}}\)
Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: \(\frac{{ - {{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}} \le 0,\forall a\)
Suy ra: \(\frac{P}{3} - \frac{1}{3} \le 0 \Rightarrow P \le 1\)
Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.
Khi đó x = 2y
Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\\y = - \frac{1}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\\x = - \frac{2}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\]
Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = \(\left( {\frac{2}{{\sqrt 7 }};\frac{1}{{\sqrt 7 }}} \right);\left( { - \frac{2}{{\sqrt 7 }}; - \frac{1}{{\sqrt 7 }}} \right)\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
29,956
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
24,564
Câu 3:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
12,308
Câu 4:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
7,468
Câu 5:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,433
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của HAB.
a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.
b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.
c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh
SAEF = SABC.(1 – cos2B).sin2C.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của HAB.
a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.
b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.
c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh
SAEF = SABC.(1 – cos2B).sin2C.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,178
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!