Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=8$  và điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ . Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác OAB.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;3;-1\right)$  và $\overrightarrow{v}=\left(5;-4;m\right)$ . Tìm m để $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA bằng 2a. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-2023;2023\right)$  để hàm số  $y=\left|8^x-3\left(m+2\right)4^x+3m\left(m+4\right)2^x\right|$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$?

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo (lãi kép). Hỏi sau ít nhất n năm $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$  thì người đó có được số tiền nhiều hơn 200 triệu đồng.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm liên tục trên $ℝ$  và thỏa mãn $f\left(x\right)+f^{\text{'}}\left(x\right)=2x{\text{e}}^x$, $\forall x\in ℝ$ ; $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2f\left(x\right)$ ; $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  và trục tung bằng

Tập nghiệm của phương trình ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{x^2-2x-3}=7^{x+1}$  là