Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y A. 21 B. 20 C. 23 D. 22

Đáp án đúng là: B Điều kiện x2+y2+7x+14y≠0x2+y2+30x+60y>0x+2y>0⇔x+2y>0. log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y ⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y ⇔2log3x2+y2+7x+14y−2log3x+2y≤log2x2+y2+30x+60y−log2x2+y2 ⇔2log3x2+y2+7x+14yx+2y≤log2x2+y2+30x+60yx2+y2 ⇔2log3x2+y2x+2y+7≤log21+30x+2yx2+y2. ⇔2log3x2+y2x+2y+7−log21+30x+2yx2+y2≤0 Đặt t=x2+y2x+2y với t>0. Khi đó, bất phương trình tương đương 2log3t+7−log21+30t≤0 Xét hàm số ft=2log3t+7−log21+30t. Ta có f't=2t+7ln3+30t21+30tln2>0,∀t>0. Nên f(t) đồng biến trên 0;+∞. Mặt khác ft=0⇔t=2 nên 2log3t+7−log21+30t≤0⇔t≤2 ⇔x2+y2x+2y≤2⇔x2+y2≤2x+4y⇔x−12+y−22≤5. Mà x+2y>0 nên x−12+y−22≤5. Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.

Câu hỏi:

22/02/2024 325

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

A. 21

Đáp án chính xác

B. 20

C. 23

D. 22

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 9) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Điều kiện $\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y \neq 0 \\ x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y > 0 \\ x + 2 y > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x + 2 y > 0$ .

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) - 2 \log_{3} (x + 2 y) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} \frac{x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y}{x + 2 y} \leq \log_{2} \frac{x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y}{x^{2} + y^{2}}$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) \leq \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}})$ .

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) - \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}$ với $t > 0$ .

Khi đó, bất phương trình tương đương $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0$

Xét hàm số $f (t) = 2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t})$ .

Ta có $f^{'} (t) = \frac{2}{(t + 7) \ln 3} + \frac{\frac{30}{t^{2}}}{(1 + \frac{30}{t}) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Nên f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Mặt khác $f (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ nên $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 2$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} \leq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Mà $x + 2 y > 0$ nên ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ , $\forall x \in ℝ$ . Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f (x)$ là:

A. $(- 2; 0)$

B. $(- 2; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

C. $(- \infty; - 2)$ và

(0; 1)

.

D. $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án » 22/02/2024 11,447

Câu 2:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt là

A. 7

B. 4

C. 6

D. 5

Xem đáp án » 22/02/2024 10,129

Câu 3:

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

A. 45

B. 10

C. 24

D. 90

Xem đáp án » 22/02/2024 10,079

Câu 4:

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

A. $a + b + c = 6$

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = - 3$

D. $a + b + c = 2$

Xem đáp án » 22/02/2024 8,863

Câu 5:

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m - 3$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 100]$ để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

A. 102

B. 101

C. 100

D. 103

Xem đáp án » 22/02/2024 6,432

Câu 6:

Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $|w + i| = \frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10 w = (3 - i) (z - 3)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i|$ bằng

A. $3 + \sqrt{10}$

B. $2 \sqrt{58}$

C. $3 \sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{53}$

Xem đáp án » 22/02/2024 5,333

Câu 7:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{2 - x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. y = -5

B. y = 2

C. y = 1

D. y = -2

Xem đáp án » 22/02/2024 4,443

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ , $\forall x \in ℝ$ . Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f (x)$ là:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt là

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m - 3$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 100]$ để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $|w + i| = \frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10 w = (3 - i) (z - 3)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i|$ bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{2 - x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=fx xác định trên ℝ, có đạo hàm f'x=x3x−12(x+2),∀x∈ℝ. Khoảng nghịch biến của hàm số y=fx là:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2fx+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt là

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3+3x2+m−3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈−5;100 để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

Cho hai số phức z, w thỏa mãn w+i=310 và 10w=3−iz−3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=z−2−i+z−6−i bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x+52−x là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ , $\forall x \in ℝ$ . Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f (x)$ là:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt là

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m - 3$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 100]$ để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $|w + i| = \frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10 w = (3 - i) (z - 3)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i|$ bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{2 - x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?