Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y A. 21 B. 20 C. 23 D. 22

Đáp án đúng là: B Điều kiện x2+y2+7x+14y≠0x2+y2+30x+60y>0x+2y>0⇔x+2y>0. log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y ⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y ⇔2log3x2+y2+7x+14y−2log3x+2y≤log2x2+y2+30x+60y−log2x2+y2 ⇔2log3x2+y2+7x+14yx+2y≤log2x2+y2+30x+60yx2+y2 ⇔2log3x2+y2x+2y+7≤log21+30x+2yx2+y2. ⇔2log3x2+y2x+2y+7−log21+30x+2yx2+y2≤0 Đặt t=x2+y2x+2y với t>0. Khi đó, bất phương trình tương đương 2log3t+7−log21+30t≤0 Xét hàm số ft=2log3t+7−log21+30t. Ta có f't=2t+7ln3+30t21+30tln2>0,∀t>0. Nên f(t) đồng biến trên 0;+∞. Mặt khác ft=0⇔t=2 nên 2log3t+7−log21+30t≤0⇔t≤2 ⇔x2+y2x+2y≤2⇔x2+y2≤2x+4y⇔x−12+y−22≤5. Mà x+2y>0 nên x−12+y−22≤5. Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.

Câu hỏi:

22/02/2024 85

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

A. 21

Đáp án chính xác

B. 20

C. 23

D. 22

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 9) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Điều kiện $\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y \neq 0 \\ x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y > 0 \\ x + 2 y > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x + 2 y > 0$ .

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) - 2 \log_{3} (x + 2 y) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} \frac{x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y}{x + 2 y} \leq \log_{2} \frac{x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y}{x^{2} + y^{2}}$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) \leq \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}})$ .

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) - \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}$ với $t > 0$ .

Khi đó, bất phương trình tương đương $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0$

Xét hàm số $f (t) = 2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t})$ .

Ta có $f^{'} (t) = \frac{2}{(t + 7) \ln 3} + \frac{\frac{30}{t^{2}}}{(1 + \frac{30}{t}) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Nên f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Mặt khác $f (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ nên $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 2$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} \leq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Mà $x + 2 y > 0$ nên ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = 3 a^{3} .$

C. $V = 4 a^{3} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án » 22/02/2024 1,730

Câu 2:

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

A. $a + b + c = 6$

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = - 3$

D. $a + b + c = 2$

Xem đáp án » 22/02/2024 1,584

Câu 3:

Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $|w + i| = \frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10 w = (3 - i) (z - 3)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i|$ bằng

A. $3 + \sqrt{10}$

B. $2 \sqrt{58}$

C. $3 \sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{53}$

Xem đáp án » 22/02/2024 1,492

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ , $\forall x \in ℝ$ . Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f (x)$ là:

A. $(- 2; 0)$

B. $(- 2; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

C. $(- \infty; - 2)$ và

(0; 1)

.

D. $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án » 22/02/2024 1,479

Câu 5:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt là

A. 7

B. 4

C. 6

D. 5

Xem đáp án » 22/02/2024 1,421

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{2 - x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. y = -5

B. y = 2

C. y = 1

D. y = -2

Xem đáp án » 22/02/2024 1,201

Câu 7:

Cho $\int \frac{1}{x^{2}} d x = F (x) + C$ với $x \neq 0$ và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $F^{'} (x) = 2 \ln |x|$

B. $F^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

C. $F^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$

D. $F^{'} (x) = - \frac{1}{x}$

Xem đáp án » 22/02/2024 1,157

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y

Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

Cho hai số phức z, w thỏa mãn w+i=310 và 10w=3−iz−3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=z−2−i+z−6−i bằng

Cho hàm số y=fx xác định trên ℝ, có đạo hàm f'x=x3x−12(x+2),∀x∈ℝ. Khoảng nghịch biến của hàm số y=fx là:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2fx+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt là

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x+52−x là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

Cho ∫1x2dx=Fx+C với x≠0 và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!