Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0;2;2), B (2;-2;0). Gọi $I_1\left(1;1;-1\right)$ và $I_2\left(3;1;1\right)$ là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của (S).

Đáp án đúng là: D

Gọi $d_1$ là đường thẳng đi qua $I_1$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(I_{1}AB\right)$, khi đó $d_1$ chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm $I_1$.

$d_2$ là đường thẳng đi qua $I_2$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(I_{2}AB\right)$, khi đó $d_2$ chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm $I_2$.

Do đó, mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn tâm $\left(I_1\right)$ và $\left(I_2\right)$ có tâm I là giao điểm của $d_1$, $d_2$ và bán kính R = IA.

Ta có $\overrightarrow{I_{1}A}=\left(-1;1;3\right);\overrightarrow{I_{1}B}=\left(1;-3;1\right)$. Đường thẳng $d_1$ có vectơ pháp tuyến là :

$\left[\overrightarrow{I_{1}A};\overrightarrow{I_{1}B}\right]=\left(10;4;2\right)=2\left(5;2;1\right)$.

Phương trình đường thẳng $d_1$ là $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}\right.$.

Ta có $\overrightarrow{I_{2}A}=\left(-3;1;1\right),\overrightarrow{I_{2}B}=\left(-1;-3;-1\right)$. Đường thẳng $d_2$ có vectơ pháp tuyến là :

$\left[\overrightarrow{I_{2}A};\overrightarrow{I_{2}B}\right]=\left(2;-4;10\right)=2\left(1;-2;5\right)$.

Phương trình đường thẳng $d_2$ là $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3+s\\ y=1-2s\\ z=1+5s\end{array}\right.$.

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+5t=3+s\\ 1+2t=1-2s\\ -1+t=1+5s\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{3}\\ s=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$. Suy ra $I\left(\frac{8}{3};\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$.

Bán kính mặt cầu (S) là $R=IA=\sqrt{{\left(-\frac{8}{3}\right)}^2+{\left(2-\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(2+\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{129}}{3}$.