Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các đường kính AOB, AO'C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác DBCE là hình thoi.

b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').

a) Tứ giác BDCE có: BK = KC, DK = KE nên BDCE là hình bình hành

Lại có BC vuông góc DE nên BDCE là hình thoi

b) Ta có: $\widehat{BDA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AD ⊥ BD

$\widehat{AIC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AI ⊥ IC (tức AI ⊥ EC)

Mặt khác BD // EC vì là các cạnh đối của hình thoi

Các đường thẳng AD, AI cùng đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng song song BD, EC nên A, D, I thẳng hàng

c) Tam giác DIE vuông có IK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IK = KD = KE

Do đó: $\widehat{KIA}=\widehat{KDA}$

Tam giác O'IA cân tại O' nên $\widehat{O\text{'}IA}=\widehat{O\text{'}AI}=\widehat{DAK}$

Suy ra: $\widehat{KIA}+\widehat{O\text{'}IA}=\widehat{KDA}+\widehat{DAK}=90°$

Do đó: $\widehat{KIO\text{'}}=\widehat{KIA}+\widehat{O\text{'}IA}=90°$

Vậy KI là tiếp tuyến của (O').