Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức$T=\left|2a-b+2c\right|$

Đáp án đúng là: D

Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên $AM\perp IM$  nên tam giác IAM vuông tại M

Xét $\Delta IAM$ , có: $IA=\sqrt{5},IM=1$$\Rightarrow MA=\sqrt{I{A}^2-R^2}=2$  

=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.

Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.

$\left(C\right)\subset \left(P\right):\left\{\begin{array}{c}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=4\end{array}\right.$

$\iff \left(C\right)\subset \left(P\right):2x-z+2=0$

Ta có $IA:\left\{\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=1\\ z=t\end{array}\right.,\left(t\in ℝ\right)$ .

Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.

Khi đó: $E=IA\cap \left(P\right)\Rightarrow E\left(\frac{-3}{5};1;\frac{4}{5}\right)$ .

Xét $\Delta IAM$  có: $r=EM=\frac{MA.MI}{IA}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

=> M thuộc mặt cầu tâm $E\left(\frac{-3}{5};1;\frac{4}{5}\right)$  bán kính $R=\frac{2}{\sqrt{5}}$  hay ${\left(a+\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{4}{5}$ .

Do $M\in \left(P\right)\Rightarrow 2a-c+2=0\iff c=2a+2$ .

Khi đó ta có được $\left\{\begin{array}{c}{\left(a+\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(2a+\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{4}{5}\\ T=\left|6a-b+4\right|\end{array}\right.$

${\left(a+\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(2a+\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{4}{5}\iff {\left(\sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2=\frac{4}{5}$.

Ta có $6a-b+4=\frac{6}{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)-\left(b-1\right)-\frac{3}{5}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

$\left|\frac{6}{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)-\left(b-1\right)\right|\le \sqrt{\left[{\left(\sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2\right]\left[{\left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2\right]}=\frac{2\sqrt{41}}{5}$

.