Câu hỏi:

24/02/2024 1,240

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |2 a - b + 2 c|$

A. $\frac{3 + \sqrt{41}}{15} .$

B. $\frac{3 + \sqrt{41}}{5} .$

C. $\frac{3 + 2 \sqrt{41}}{15} .$

D. $\frac{3 + 2 \sqrt{41}}{5} .$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 13) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) (ảnh 1)

Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên $A M ⊥ I M$ nên tam giác IAM vuông tại M

Xét $Δ I A M$ , có: $I A = \sqrt{5}, I M = 1$ $\Rightarrow M A = \sqrt{I A^{2} - R^{2}} = 2$

=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.

Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.

$(C) \subset (P) : \{\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow (C) \subset (P) : 2 x - z + 2 = 0$

Ta có $I A : \{\begin{matrix} x = 1 - 2 t \\ y = 1 \\ z = t \end{matrix}, (t \in ℝ)$ .

Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.

Khi đó: $E = I A \cap (P) \Rightarrow E (\frac{- 3}{5}; 1; \frac{4}{5})$ .

Xét $Δ I A M$ có: $r = E M = \frac{M A . M I}{I A} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

=> M thuộc mặt cầu tâm $E (\frac{- 3}{5}; 1; \frac{4}{5})$ bán kính $R = \frac{2}{\sqrt{5}}$ hay ${(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - \frac{4}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$ .

Do $M \in (P) \Rightarrow 2 a - c + 2 = 0 \Leftrightarrow c = 2 a + 2$ .

Khi đó ta có được $\{\begin{matrix} {(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(2 a + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5} \\ T = |6 a - b + 4| \end{matrix}$

${(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(2 a + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow {(\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}})}^{2} + {(b - 1)}^{2} = \frac{4}{5}$ .

Ta có $6 a - b + 4 = \frac{6}{\sqrt{5}} (\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}}) - (b - 1) - \frac{3}{5}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

$|\frac{6}{\sqrt{5}} (\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}}) - (b - 1)| \leq \sqrt{[{(\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}})}^{2} + {(b - 1)}^{2}] [{(\frac{6}{\sqrt{5}})}^{2} + {(- 1)}^{2}]} = \frac{2 \sqrt{41}}{5}$

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. $\frac{313}{625}$

B. $\frac{12}{25}$

C. $\frac{13}{25}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án » 24/02/2024 19,955

Câu 2:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x < 2$ là

A. $(0; 9)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(9; + \infty)$

D. $(- \infty; 9)$

Xem đáp án » 24/02/2024 9,899

Câu 3:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm thực của phương trình $|f (x^{4} - 2 x^{2})| = 2$ là

A. 7

B. 9

C. 10

D. 8

Xem đáp án » 24/02/2024 7,469

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (2; 0; - 1)$ . Tính độ dài $|\vec{u} + 2 \vec{v}|$ .

A. 2

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{30}$

D. $\sqrt{22}$

Xem đáp án » 24/02/2024 7,022

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án » 24/02/2024 5,685

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2;1;3), B (6;5;5). Xét khối nón (N) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh của khối nón (N). Khi thể tích khối nón (N) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình 2x + by + cz + d = 0. Tính T = b + c + d.

A. T = 12

B. T = 18

C. T = 24

D. T = 36

Xem đáp án » 24/02/2024 5,100

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng

A. $\sqrt{2} a$

B. $\sqrt{3} a$

C. $2 \sqrt{2} a$

D. 2a

Xem đáp án » 24/02/2024 4,890

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x < 2$ là

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm thực của phương trình $|f (x^{4} - 2 x^{2})| = 2$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (2; 0; - 1)$ . Tính độ dài $|\vec{u} + 2 \vec{v}|$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

Tập nghiệm của bất phương trình log3x<2 là

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực của phương trình fx4−2x2=2 là

Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ u→=1;1;0 và v→=2;0;−1 . Tính độ dài u→+2v→ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và SA=a6 . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x < 2$ là

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm thực của phương trình $|f (x^{4} - 2 x^{2})| = 2$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (2; 0; - 1)$ . Tính độ dài $|\vec{u} + 2 \vec{v}|$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng