Câu hỏi:

24/02/2024 298

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |2 a - b + 2 c|$

A. $\frac{3 + \sqrt{41}}{15} .$

B. $\frac{3 + \sqrt{41}}{5} .$

C. $\frac{3 + 2 \sqrt{41}}{15} .$

D. $\frac{3 + 2 \sqrt{41}}{5} .$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 13) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) (ảnh 1)

Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên $A M ⊥ I M$ nên tam giác IAM vuông tại M

Xét $Δ I A M$ , có: $I A = \sqrt{5}, I M = 1$ $\Rightarrow M A = \sqrt{I A^{2} - R^{2}} = 2$

=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.

Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.

$(C) \subset (P) : \{\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow (C) \subset (P) : 2 x - z + 2 = 0$

Ta có $I A : \{\begin{matrix} x = 1 - 2 t \\ y = 1 \\ z = t \end{matrix}, (t \in ℝ)$ .

Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.

Khi đó: $E = I A \cap (P) \Rightarrow E (\frac{- 3}{5}; 1; \frac{4}{5})$ .

Xét $Δ I A M$ có: $r = E M = \frac{M A . M I}{I A} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

=> M thuộc mặt cầu tâm $E (\frac{- 3}{5}; 1; \frac{4}{5})$ bán kính $R = \frac{2}{\sqrt{5}}$ hay ${(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - \frac{4}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$ .

Do $M \in (P) \Rightarrow 2 a - c + 2 = 0 \Leftrightarrow c = 2 a + 2$ .

Khi đó ta có được $\{\begin{matrix} {(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(2 a + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5} \\ T = |6 a - b + 4| \end{matrix}$

${(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(2 a + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow {(\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}})}^{2} + {(b - 1)}^{2} = \frac{4}{5}$ .

Ta có $6 a - b + 4 = \frac{6}{\sqrt{5}} (\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}}) - (b - 1) - \frac{3}{5}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

$|\frac{6}{\sqrt{5}} (\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}}) - (b - 1)| \leq \sqrt{[{(\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}})}^{2} + {(b - 1)}^{2}] [{(\frac{6}{\sqrt{5}})}^{2} + {(- 1)}^{2}]} = \frac{2 \sqrt{41}}{5}$

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. $\frac{313}{625}$

B. $\frac{12}{25}$

C. $\frac{13}{25}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án » 24/02/2024 5,442

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án » 24/02/2024 2,371

Câu 3:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} - 6 z + m = 0 (m$ là tham số thực). Gọi $m_{0}$ là một giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} . \bar{z_{1}} = z_{2} . \bar{z_{2}}$ . Trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị nguyên $m_{0}$ ?

A. 13

B. 10

C. 11

D. 12

Xem đáp án » 24/02/2024 1,500

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x < 2$ là

A. $(0; 9)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(9; + \infty)$

D. $(- \infty; 9)$

Xem đáp án » 24/02/2024 1,229

Câu 5:

Đạo hàm của hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ bằng

A. $y^{'} = \frac{1}{x - 1}$

B. $y^{'} = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

C. $y^{'} = \frac{2}{x - 1}$

D. $y^{'} = 2 x - 2$

Xem đáp án » 24/02/2024 1,091

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2;1;3), B (6;5;5). Xét khối nón (N) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh của khối nón (N). Khi thể tích khối nón (N) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình 2x + by + cz + d = 0. Tính T = b + c + d.

A. T = 12

B. T = 18

C. T = 24

D. T = 36

Xem đáp án » 24/02/2024 1,077

Câu 7:

Với mọi số thực a dương, $\log_{2} \frac{a^{2}}{4}$ bằng

A. $\log_{2} a - 2$

B. $2 (\log_{2} a - 1)$

C. $\log_{2} a - 1$

D. $2 \log_{2} a - 1$

Xem đáp án » 24/02/2024 937

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và SA=a6 . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2−6z+m=0 m là tham số thực). Gọi m0 là một giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1,z2 thỏa mãn z1.z1¯=z2.z2¯ . Trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị nguyên m0 ?

Tập nghiệm của bất phương trình log3x<2 là

Đạo hàm của hàm số y=lnx2−2x+1 bằng

Với mọi số thực a dương, log2a24 bằng

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x < 2$ là

Đạo hàm của hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ bằng

Với mọi số thực a dương, $\log_{2} \frac{a^{2}}{4}$ bằng