Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho ADBD=CEEA. Chứng minh rằng: Trung điểm M của đoạn thẳng DE nằm trên 1 đoạn thẳng cố định.

Câu hỏi:

12/07/2024 753

Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho $\frac{A D}{B D} = \frac{C E}{E A}$ . Chứng minh rằng: Trung điểm M của đoạn thẳng DE nằm trên 1 đoạn thẳng cố định.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho ad/db = ce/ea (ảnh 1)

Ta có: $\frac{A D}{B D} = \frac{C E}{E A} \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{E C}{C A}$

Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F (EF // BC)

Theo định lý ta-lét ta có: $\frac{E F}{A B} = \frac{C E}{C A}$

Suy ra: $\frac{E F}{A B} = \frac{A D}{A B} \Rightarrow E F = A D$

Lại có: EF // AB nên EF // AD

Suy ra: ADFE là hình bình hành

Mà ADFE là hình bình hành có M là trung điểm của đường chéo DE nên M cũng là trung điểm của AF

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC

Suy ra: IJ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ IJ // BC (1)

Tam giác ABF có I là trung điểm AB, M là trung điểm AF nên IM là đường trung bình của tam giác ABF

⇒ IM // BC (2)

Từ (1) và (2): I, M, J thẳng hàng

Vậy M nằm trên IJ

Mà tam giác ABC cố định, nên IJ cố định, vậy M cố định.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\sin a = \frac{8}{17}; \tan b = \frac{5}{12}$ và a, b là các góc nhọn. Tính A = sin(a – b).

Xem đáp án

Lời giải

$\cos a = \sqrt{1 - \sin^{2} a} = \frac{15}{17}; \cos b = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} b}} = \frac{12}{13}$

A = sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa = $\frac{8}{17} . \frac{12}{13} - \frac{15}{17} . \frac{5}{13} = \frac{21}{221}$

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD).

b) Tìm giao điểm P của SD và (ABM). Chứng minh rằng P là trung điểm của SD.

c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm K của MN và (SBD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD). (ảnh 1)

a) Trong (ABCD) gọi O = AC ∩ BD. Suy ra SO ⊂ (SAC), SO ⊂ (SBD)

Trong (SAC) gọi I = AM ∩ SO ta có:

I ∈ AM, I ∈ SO ⊂ (SBD)

Nên I ∈ (SBD)

Suy ra: I = AM ∩ (SBD)

b) Trong (SBD) gọi P = BI ∩ SD ta có:

P ∈ SD

P ∈ BI ⊂ (ABM) nên P ∈ (ABM)

Suy ra: P = SD ∩ (ABM)

Ta có: I là trọng tâm tam giác SAC nên $\frac{S I}{S O} = \frac{2}{3}$

Xét tam giác SBD có SO là trung tuyến ứng với cạnh BD, $\frac{S I}{S O} = \frac{2}{3}$

Nên I là trọng tâm tam giác SBD

Suy ra: BI là trung tuyến của tam giác SBD ứng với cạnh SD

Mà BI ∩ SD = P nên P là trung điểm của SD.

c) Trong (SBD) gọi K = MN ∩ BP ta có:

K ∈ MN

K ∈ BP ⊂ (SBD) nên K ∈ (SBD)

Vậy K = MN ∩ (SBD).

Câu 3