Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$  và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ . Lấy điểm M(a;b;c) với a<0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, Clà tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60°;\widehat{BMC}=90°;\widehat{CMA}=120°$ . Tổng a+b+c bằng

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S)  tâm $I\left(1;2;-3\right);R=3\sqrt{3}$.

Đặt $MA=MB=MC=a$

Xét $\Delta MAB$  có $\left\{\begin{array}{l}MA=MB\\ \widehat{AMB}=60°\end{array}\right.$$\Rightarrow \Delta MAB$  đều nên AB = a.

Xét $\Delta MBC$  có  $\left\{\begin{array}{l}MB=MC\\ \widehat{BMC}=90°\end{array}\right.$$\Rightarrow \Delta MBC$vuông cân tại M nên $BC=a\sqrt{2}$ .

Xét $\Delta MBC$  có $\left\{\begin{array}{l}MC=MA=a\\ \widehat{MAC}=120°\end{array}\right.$  nên áp dụng định lí Côsin ta có $CA=a\sqrt{3}$ .

Từ các kết quả trên ta có $\Delta ABC$  vuông tại B (định lí Pythagore đảo).

$\Rightarrow \Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính $R=HA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  (với H là trung điểm của AC).

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta IAM$  có:

$\frac{1}{H{A}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{I{A}^2}\iff \frac{4}{3a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}\iff a=3=MA=MB=MC$

Áp dụng định lí Pythagore trong $\Delta IAM$  có:

$M{I}^2=M{A}^2+I{A}^2=3^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2=36$.

Vì $M\in d$  nên gọi $M\left(t-1;t-2;t+1\right)$ .

$\Rightarrow M{I}^2={\left(t-2\right)}^2+{\left(t-4\right)}^2+{\left(t+4\right)}^2=36$

$\iff 3t^2-4t=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=\frac{4}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}M\left(-1;-2;1\right)\\ M\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3}\right)\end{array}\right.$

Vì hoành độ của M âm nên ta chọn M(-1;-2;1).

$\Rightarrow a+b+c=-2$.