Câu hỏi:

26/02/2024 18,065

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z - 13 = 0$ . Lấy điểm M(a;b;c) với a<0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, Clà tiếp điểm) thỏa mãn $\hat{A M B} = 60 °; \hat{B M C} = 90 °; \hat{C M A} = 120 °$ . Tổng a+b+c bằng

A. $\frac{10}{3}$

B. 1

C. -2

D. 2

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 14) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x+1)/1=(y+2)/1 = (z-1)/1 và mặt cầu (S): x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13 = 0. Lấy điểm M(a;b;c) (ảnh 1)

Mặt cầu (S) tâm $I (1; 2; - 3); R = 3 \sqrt{3}$ .

Đặt $M A = M B = M C = a$

Xét $Δ M A B$ có $\{\begin{cases} M A = M B \\ \hat{A M B} = 60 ° \end{cases}$ $\Rightarrow Δ M A B$ đều nên AB = a.

Xét $Δ M B C$ có $\{\begin{cases} M B = M C \\ \hat{B M C} = 90 ° \end{cases}$ $\Rightarrow Δ M B C$ vuông cân tại M nên $B C = a \sqrt{2}$ .

Xét $Δ M B C$ có $\{\begin{cases} M C = M A = a \\ \hat{M A C} = 120 ° \end{cases}$ nên áp dụng định lí Côsin ta có $C A = a \sqrt{3}$ .

Từ các kết quả trên ta có $Δ A B C$ vuông tại B (định lí Pythagore đảo).

$\Rightarrow Δ A B C$ ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính $R = H A = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ (với H là trung điểm của AC).

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ I A M$ có:

$\frac{1}{H A^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{I A^{2}} \Leftrightarrow \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(3 \sqrt{3})}^{2}} \Leftrightarrow a = 3 = M A = M B = M C$

Áp dụng định lí Pythagore trong $Δ I A M$ có:

$M I^{2} = M A^{2} + I A^{2} = 3^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2} = 36$ .

Vì $M \in d$ nên gọi $M (t - 1; t - 2; t + 1)$ .

$\Rightarrow M I^{2} = {(t - 2)}^{2} + {(t - 4)}^{2} + {(t + 4)}^{2} = 36$

$\Leftrightarrow 3 t^{2} - 4 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 0 \\ t = \frac{4}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} M (- 1; - 2; 1) \\ M (\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{7}{3}) \end{array}$

Vì hoành độ của M âm nên ta chọn M(-1;-2;1).

$\Rightarrow a + b + c = - 2$ .

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Cho ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{6}$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 là $A_{6}^{3} = 120 \Rightarrow n (Ω) = 120$ .

Gọi biến cố A: “số được chọn là một số chia hết cho ”.

Giả sử số tự nhiên có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng $\bar{a b c}$ .

· Chữ số c = 5 có 1 cách chọn;

· Chữ số b ( $b \neq c$ ) có 5 cách chọn;

· Chữ số a ( $a \neq b; a \neq c$ ) có 4 cách chọn.

Suy ra $n (A) = 1.5.4 = 20$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ .

Câu 2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

A. $\frac{a \sqrt{21}}{7} .$

B. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7} .$

C. $\frac{a \sqrt{42}}{7} .$

D. $\frac{a \sqrt{42}}{14} .$

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a căn 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC. (ảnh 2)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: AB//CD mà $C D \subset (S C D)$ nên AB//(SCD).

Khi đó $d (A B, S C) = d (A B, (S C D)) = d (M, (S C D)) .$

Trong (SMN) kẻ $M I ⊥ S N, (I \in S N)$ (1).

Lại có: $\{\begin{cases} C D ⊥ M N \\ C D ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S M N) \Rightarrow C D ⊥ M I$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $M I ⊥ (S C D)$ $\Rightarrow d (M, (S C D)) = M I .$

Xét tam giác SAC có $S A = S C = A C = a \sqrt{2}$ nên $Δ S A C$ đều.

Do đó $S O = \frac{a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2}$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra MN = AB = a.

Xét $Δ S C D$ cân tại C (do SC - SD) có SN là đường trung tuyến.

$\Rightarrow S N ⊥ C D$ .

Áp dụng định lí Pythagore trong $Δ S C N$ có:

Vì $S_{S M N} = \frac{1}{2} M I \cdot S N = \frac{1}{2} S O \cdot M N \Rightarrow M I \cdot S N = S O \cdot M N$

$\Rightarrow M I = \frac{S O \cdot M N}{S N} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{2} \cdot a}{\frac{a \sqrt{7}}{2}} = \frac{a \sqrt{42}}{7} .$ .

Vậy $d (A B, C D) = \frac{a \sqrt{42}}{7} .$

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(0; 1)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng $a, S A = a \sqrt{3}$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

A. $90 °$

B. $60 °$

C. $30 °$

D. $45 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^{3} - 6 x$ và $y = x^{2}$ bằng

A. $\frac{125}{12}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{63}{4}$

D. $\frac{253}{12}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (2 x + 1) {(x + 2)}^{2} {(3 x - 1)}^{4}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng $a, S A = a \sqrt{3}$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^{3} - 6 x$ và $y = x^{2}$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (2 x + 1) {(x + 2)}^{2} {(3 x - 1)}^{4}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là