Câu hỏi:

27/02/2024 1,335

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn

$x (2^{x y} + \log_{2} (x y)) = x y^{4} + 15 x y - 30 + 10 y$ ?

A. 16

B. 15

C. 26

D. 27

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 16) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Đầu tiên ta có phương trình sau: $x (2^{x y} + \log_{2} (x y)) = x y^{4} + 15 x y - 30 + 10 y$ (*)

$\Leftrightarrow 2^{x y} + \log_{2} (x y) = y^{4} + 15 y - \frac{30 - 10 y}{x} \Leftrightarrow 2^{x y} + \log_{2} (x y) + \frac{30}{x} - \frac{10 y}{x} = y^{4} + 15 y$ (1)

Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến y luôn đồng biến trên $(0; + \infty)$ ( $f^{'} (y) = 4 y^{3} + 15 > 0$ $\forall y \in (0; + \infty)$ ).

Tiếp theo ta khảo sát hàm số $g (x) = 2^{x y} + \log_{2} (x y) + \frac{30}{x} - \frac{10 y}{x}$ trên $(1; + \infty)$ .

Ta có: $g^{'} (x) = y 2^{x y} \ln 2 + \frac{1}{x \ln 2} - \frac{30}{x^{2}} + \frac{10 y}{x^{2}}$ .

Thế $y = 3$ vào ta có $g^{'} (3) = 8^{x + 1} \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2} > 64 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} > 0, \forall x > 1$ .

Suy ra $\forall y \geq 3$ thì $g^{'} (x) > 0$ , kéo theo đó ta có được:

$\{\begin{cases} g (x) > g (1) = 2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30 \\ \lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty \end{cases}$ .

Khi ấy để (*)có nghiệm $\forall x > 1$ thì cần có:

$2^{x y} + \log_{2} (x y) + \frac{30}{x} - \frac{10 y}{x} > 2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30 < y^{4} + 15 y$

$\Leftrightarrow 2^{y} + \log_{2} (y) - 25 y + 30 - y^{4} < 0, \forall y \geq 3$ (3)

Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE) $y \approx 16,01$ (**), khi đó ta có ý tưởng sau:

Giả sử đảo chiều (3), ta có: $2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30 > y^{4} + 15 y$

$\Leftrightarrow 2^{y} + \log_{2} (y) - 25 y + 30 - y^{4} > 0$ (4).

Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y \geq 17$ .

Xét hàm số $h (y) = 2^{y} + \log_{2} (y) - 25 y + 30 - y^{4}$ có $h (16) = - 366 < 0; h (17) > 0$ nên suy ra $h (y) < 0, \forall y < 17$ tức $h (y) > 0, \forall y \geq 17$ .

Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y \geq 17$ tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi $3 \leq y \leq 17$ .

Do (**) nên ta thử từng giá trị $y : 3 \to 17$ theo thứ tự từ lớn xuống.

Nhận thấy y = 17 không thỏa nên $3 \leq y < 17$

Mà đề cho $y \in ℤ^{+}$ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là $y \in \{1; 2\}$ , nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra $1 \leq y < 17$ tức $y \in \{1; 2; ...; 15; 16\}$ . Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên y thỏa mãn đề bài.

Bình luận

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

A. a

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 27/02/2024 114,170

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $90 °$

D. $30 °$

Xem đáp án » 27/02/2024 36,616

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) < 1$ là

A. $(2; 12)$

B. $(- \infty; 12)$

C. $(- \infty; 3)$

D. $(12; + \infty)$

Xem đáp án » 27/02/2024 18,300

Câu 4:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = 2 023$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. (0;2)

B. (-2;0)

C. (0;-2)

D. (2;0)

Xem đáp án » 27/02/2024 8,703

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thi là đường cong trong hình bên.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

A. (0;-2)

B. (2;0)

C. (-2;0)

D. (0;2)

Xem đáp án » 27/02/2024 6,873

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án » 27/02/2024 6,343

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ .

Tính bán kính r của mặt cầu.

A. $r = 2 \sqrt[]{2}$

B. $r = \sqrt[]{26}$

C. $r = 4$

D. $r = \sqrt[]{2}$

Xem đáp án » 27/02/2024 5,255

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn

$x (2^{x y} + \log_{2} (x y)) = x y^{4} + 15 x y - 30 + 10 y$ ?

500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025)

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) < 1$ là

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = 2 023$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thi là đường cong trong hình bên.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ .

Tính bán kính r của mặt cầu.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn x2xy+log2xy=xy4+15xy−30+10y?

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD và SA=a33 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Tập nghiệm của bất phương trình logx−2<1 là

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z−2i=2 023 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Cho hàm số y=ax+bcx+d có đồ thi là đường cong trong hình bên. Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x+2y−4z−2=0. Tính bán kính r của mặt cầu.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn

$x (2^{x y} + \log_{2} (x y)) = x y^{4} + 15 x y - 30 + 10 y$ ?

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) < 1$ là

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = 2 023$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thi là đường cong trong hình bên.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ .

Tính bán kính r của mặt cầu.