Câu hỏi:

27/02/2024 1,684

Cho hàm số $f (x) = {(x - 3)}^{2} {(2 x - 7)}^{3} {(3 x - 10)}^{2 023} {(x - 4)}^{2 024}$ . Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $h (x) = f (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|)$ có số điểm cực tiểu nhiều nhất là $S = (a; b) \ \{c\}$ . Giá trị của biểu thức $T = a^{2} - a b + b^{2} + a b c$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. (1;100)

B. (115;130)

C. (100;115)

D. (130;2023)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 16) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Trường hợp 1: f(x) = 0 thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là $x = \frac{7}{2}; x = \frac{10}{3}$ (1)

Trường hợp 2: $f (x) \neq 0$ , thực hiện biến đổi

$\{\begin{cases} \ln f (x) = 2 \ln |x - 3| + 3 \ln |2 x - 7| + 2023 \ln |3 x - 10| + 2024 \ln |x - 4| \\ x \in ℝ \ \{3; \frac{10}{3}; \frac{7}{2}; 4\} \end{cases}$

Đạo hàm hai vế ta có: $\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = f (x) (\frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4})$

Ta giải: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) (\frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = {0^{}}^{} (L) \\ \frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4} = {0^{}}^{} (2) \end{array}$

Xét hàm số $u (x) = \frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4}$ có:

$u^{'} (x) = - \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{12}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{3.6069}{{(3 x - 10)}^{2}} - \frac{2024}{{(x - 4)}^{2}} < 0$

Suy ra $u (x)$ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Với $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$ , khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số f(x) = (x-3)^2(2x-7)^3(3x-10)^2023(x-4)^2024. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m (ảnh 1)

Khi đó (2) có các nghiệm là: $x = a \in (3; \frac{10}{3}); x = b \in (\frac{10}{3}; \frac{7}{2}); x = c \in (\frac{7}{2}; 4)$ (3).

Từ (1) và (3), ta suy ra f(x) có 5 điểm cực trị lần lượt là $a, \frac{7}{2}, b, \frac{10}{3}, c$

(với $3 < a < \frac{7}{2} < b < \frac{10}{3} < c < 4$ ).

Tiếp đến ta xét hàm số $h (x) = f (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|)$ có

$h^{'} (x) = \frac{(- 4 x^{3} + 16 x + m) (- x^{4} + 8 x^{2} + m x) f^{'} (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|)}{|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 4 x^{3} + 16 x + m = {0^{}}^{} (4) \\ - x^{4} + 8 x^{2} + m x = {0^{}}^{} (5) \\ f^{'} (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|) = {0^{}}^{} (6) \end{array}$ .

Để hàm số h(x) có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Khi đó (4) tương đương với:

$m = 4 x^{3} - 16 x = q (x) \to m \in (q (\frac{2}{\sqrt{3}}); q (\frac{92}{\sqrt{3}})) \Rightarrow m \in (\frac{- 64}{3 \sqrt{3}}; \frac{64}{3 \sqrt{3}})$ (7).

Giải (5), khi đó phương trình tương đương với:

$[\begin{array}{l} x = 0 \\ - x^{3} + 8 x + m = 0^{} (*) \end{array} (*) \Leftrightarrow m = x^{3} - 8 x = r (x) \Rightarrow m \in (r (\frac{2 \sqrt{6}}{3}); r (\frac{- 2 \sqrt{6}}{3}))$

$\Rightarrow m \in (- \frac{32 \sqrt{6}}{9}; \frac{32 \sqrt{6}}{9})$ (8).

Từ (7) và (8) ta suy ra $m \in (- \frac{32 \sqrt{6}}{9}; \frac{32 \sqrt{6}}{9}) \ \{0\}$ . (9)

Giải (6), khi đó phương trình tương đương với:

$\{\begin{cases} |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = \frac{7}{2}; |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = \frac{10}{3} \\ |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = a; |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = b; |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = c \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{7}{2 x}; - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{10}{3 x} \\ - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{a}{x}; - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{b}{x}; - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{c}{x} \end{cases}$ .

Giả sử ta có hàm số $p (x) = - x^{3} + 8 x + m$ ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số p(x) phải luôn cắt các đường cong $- \frac{7}{2 x}; - \frac{10}{3 x}; - \frac{a}{x}; - \frac{b}{x}; - \frac{c}{x}$ tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.

Do $c \approx 3,6667$ (sai số rất nhỏ) nên ta xem như $c = \frac{7}{2} = 3,5$ .

Gọi $x_{0}$ là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa p(x) và $y = \frac{7}{2 x}$ .

Khi đó $x_{0}$ là nghiệm của hệ:

$\{\begin{cases} - {x_{0}}^{3} + 8 x_{0} + m = \frac{7}{2 x_{0}} \\ - 3 {x_{0}}^{2} + 8 = - \frac{7}{2 {x_{0}}^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - {x_{0}}^{3} + 8 x + m = \frac{7}{2 x_{0}} \\ 6 {x_{0}}^{4} - 16 {x_{0}}^{2} - 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - {x_{0}}^{3} + 8 x_{0} + m = \frac{7}{2 x_{0}} \\ x_{0} = \pm 1,75 \end{cases}$

Suy ra: $- {(\pm 1,75)}^{3} + 8 (\pm 1,75) + m = \frac{7}{2 (\pm 1,75)} \Leftrightarrow m = \pm 6,64$ .

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có $m \in (- 6,64; 6,64)$ (10).

Từ (9) và (10) ta suy ra $m \in (- 6,64; 6,64) \ \{0\}$ .

Vậy

T = a^{2} - a b + b^{2} = 3 {(6,64)}^{2} \in (115; 150)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

A. a

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Kẻ $A H ⊥ S D$ tại H.

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn 3/3 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A (ảnh 2)

Dễ thấy $C D ⊥ A B, C D ⊥ S A \Rightarrow C D ⊥ (S A D)$ $\Rightarrow A H ⊥ C D$ .

Mà $A H ⊥ S D$ Þ $A H ⊥ (S C D)$ .

Suy ra $d (A; (S C D)) = A H$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ S A D$ có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{4}{a} \Rightarrow A H = \frac{a}{2}$ .

Vậy $d (A; (S C D)) = A H = \frac{a}{2}$ .

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $90 °$

D. $30 °$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên AC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là $\hat{S C A} = 45 °$ (do $∆ S A C$ vuông cân tại A cạnh a).

Câu 3

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) < 1$ là

A. $(2; 12)$

B. $(- \infty; 12)$

C. $(- \infty; 3)$

D. $(12; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = 2 023$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. (0;2)

B. (-2;0)

C. (0;-2)

D. (2;0)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thi là đường cong trong hình bên.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

A. (0;-2)

B. (2;0)

C. (-2;0)

D. (0;2)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ .

Tính bán kính r của mặt cầu.

A. $r = 2 \sqrt[]{2}$

B. $r = \sqrt[]{26}$

C. $r = 4$

D. $r = \sqrt[]{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD và SA=a33 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Tập nghiệm của bất phương trình logx−2<1 là

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z−2i=2 023 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Cho hàm số y=ax+bcx+d có đồ thi là đường cong trong hình bên. Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x+2y−4z−2=0. Tính bán kính r của mặt cầu.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) < 1$ là

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = 2 023$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thi là đường cong trong hình bên.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ .

Tính bán kính r của mặt cầu.