Số nghiệm của phương trình ${\log }_3\left|x^2-\sqrt{2}x\right|={\log }_5\left(x^2-\sqrt{2}x+2\right)$  là

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x\ne 0;x\ne \sqrt{2}$ .

Đặt ${\log }_3\left|x^2-\sqrt{2}x\right|={\log }_5\left(x^2-\sqrt{2}x+2\right)=t$ . Khi đó ta có

$\left\{\begin{array}{l}\left|x^2-\sqrt{2}x\right|=3^t\\ x^2-\sqrt{2}x+2=5^t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left|x^2-\sqrt{2}x\right|=3^t\\ x^2-\sqrt{2}x=5^t-2\end{array}\right.$

Từ đó suy ra $\left|5^t-2\right|=3^t\iff \left[\begin{array}{l}{5}^t-2=3^t\left(1\right)\\ 5^t-2=-3^t\left(2\right)\end{array}\right.$ .

· Phương trình (1) tương đương $5^t-3^t-2=0\iff 1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^t-2.{\left(\frac{1}{5}\right)}^t=0$ .

Xét hàm số $g\left(t\right)=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^t-2.{\left(\frac{1}{5}\right)}^t$ .

Khi đó $g^{\text{'}}\left(t\right)=-{\left(\frac{3}{5}\right)}^t\ln \frac{3}{5}-2.{\left(\frac{1}{5}\right)}^t\ln \frac{1}{5}>\mathrm{0,}\forall t$$\Rightarrow g\left(t\right)$ đồng biến trên$ℝ$ .

Suy ra phương trình g(t) = 0  có không quá một nghiệm.

Dễ dàng thấy t = 1  là một nghiệm của phương trình g(t) = 0.

Suy ra t = 1 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình g(t) = 0.

Với t = 1  ta có:

 ${\log }_5\left(x^2-\sqrt{2}x+2\right)=1$$\iff x^2-\sqrt{2}x=3\iff x^2-\sqrt{2}x-3=0$ (với $\Delta =14>0$ ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

· Phương trình (2) tương đương với $5^t+3^t-2=0$ .

Xét hàm số $h\left(t\right)=5^t+3^t-2$ .

Khi đó $h^{\text{'}}\left(t\right)=5^t\ln 5+3^t\ln 3>\mathrm{0,}\forall t$$\Rightarrow h\left(t\right)$  đồng biến trên $ℝ$ .

Lập luận tương tự phương trình (1), ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm t = 0.

Với t = 0 , ta có: ${\log }_5\left(x^2-\sqrt{2}x+2\right)=0\iff x^2-\sqrt{2}x=-1\iff x^2-\sqrt{2}x+1=0$

(vô nghiệm do $\Delta =-2<0$ ).

Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.