Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x² + x – 89 = 5^y.

Vì x và y nguyên không âm nên x ≥ 9

+) Với x = 9 thì ta tìm được y = 0

+) Xét x > 9. Khi đó x chia cho 5 có 5 loại số dư là 0, 1, 2, 3, 4

TH1: x chia hết cho 5 hay x có dạng 5k với k là số tự nhiên.

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 5k - 89

Dễ thấy 25k² + 5k chia hết cho 5 còn 89 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH2: x chia 5 dư 1 hay x = 5k + 1 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 10k + 1 + 5k + 1 – 89 = 25k² + 15k – 87

Dễ thấy 25k² + 15k chia hết cho 5 còn 87 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH3: x chia 5 dư 2 hay x = 5k + 2 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 20k + 4 + 5k + 2 – 89 = 25k² + 25k – 83

Dễ thấy 25k² + 25k chia hết cho 5 còn 83 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH4: x chia 5 dư 3 hay x = 5k + 3 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 30k + 9 + 5k + 3 – 89 = 25k² + 35k – 77

Dễ thấy 25k² + 15k chia hết cho 5 còn 87 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH2: x chia 5 dư 4 hay x = 5k + 4 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 40k + 16 + 5k + 14 – 89 = 25k² + 45k – 59

Dễ thấy 25k² + 45k chia hết cho 5 còn 59 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

Vậy (x;y) = (9;0).