Cho (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.

• Để (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

⇔ m ≠ ‒2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ $-\frac{1}{2}$

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)x_A – 2m – 3⇒ $x_A=\frac{2m+3}{2m+1}$. Suy ra $A\left(\frac{2m+3}{2m+1};0\right)$

• Để (d₂) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)x_B + m⇒ $x_B=\frac{-m}{m-1}$. Suy ra $B\left(\frac{-m}{m-1};0\right)$

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

⇔ $\frac{2m+3}{2m+1}=\frac{-m}{m-1}$

⇔ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)⇔ 2m² + m – 3 = –2m² – m

⇔ 4m² + 2m – 3 = 0⇔ $m=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}$(thỏa mãn).

Vậy $m=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.