a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?

b) Hãy so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ban đầu là:

R = 33 – 15 = 18 (phút).

Từ Ví dụ 4, ta có khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ban đầu là ${\Delta }_Q=\frac{505}{114}$.

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ + 1,5∆_Q.

Hay x > $\frac{68}{3}+\mathrm{1,5}\cdot \frac{505}{114}=\frac{6683}{228}\approx \mathrm{29,31}$ hoặc x < $\frac{693}{38}-\mathrm{1,5}\cdot \frac{505}{114}=\frac{881}{76}\approx \mathrm{11,59}$.

Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sau khi bỏ giá trị ngoại lệ, ta có bảng thống kê sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:

R' = 30 – 15 = 15 (phút).

Cỡ mẫu n' = 99.

Gọi y₁; y₂; y₃; …; y₉₉ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần đi xe buýt của ông Thắng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: y₁; …; y₂₂ ∈ [15; 18); y₂₃; …; y₆₀ ∈ [18; 21); y₆₁; …; y₈₇ ∈ [21; 24);

y₈₈; …; y₉₅ ∈ [24; 27); y₉₅; …; y₉₉ ∈ [27; 30).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y_25­ ∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là: ${Q^{\text{'}}}_1=18+\frac{\frac{99}{4}-22}{38}\cdot \left(21-18\right)=\frac{2769}{152}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y_75­ ∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là: ${Q^{\text{'}}}_3=21+\frac{\frac{3\cdot 99}{4}-\left(22+38\right)}{27}\cdot \left(24-21\right)=\frac{271}{12}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:${{\Delta }^{\text{'}}}_Q={Q^{\text{'}}}_3-{Q^{\text{'}}}_1=\frac{271}{12}-\frac{2769}{152}=\frac{1991}{456}\approx \mathrm{4,37}$.

Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên giảm mạnh, còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.

b)

Ÿ Lớp 12C:

Cỡ mẫu n = 2 + 7 + 12 + 3 + 0 + 1 = 25.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₅ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂ ∈ [155; 160), x₃; x₄; …; x₉ ∈ [160; 165),

x₁₀; x₁₁; …; x₂₁ ∈ [165; 170), x₂₂; …; x₂₄ ∈ [170; 175), x₂₅ ∈ [180; 185).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(x₆ + x₇) ∈ [160; 165). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:$Q_1=160+\frac{\frac{25}{4}-2}{7}\cdot \left(165-160\right)=\frac{4565}{28}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(x₁₉ + x₂₀) ∈ [165; 170). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_3=165+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(2+7\right)}{12}\cdot \left(170-165\right)=\frac{2705}{16}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là:

Ÿ Lớp 12D:

Cỡ mẫu n' = 5 + 9 + 8 + 2 + 1 = 25.

Gọi y₁; y₂; …; y₂₅ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; y₂; …; y­₅ ∈ [155; 160), y₆; y₇; …; y₁₄ ∈ [160; 165),

y₁₅; y₁₆; …; y₂₂ ∈ [165; 170), y₂₃; y₂₄ ∈ [170; 175), y₂₅ ∈ [175; 180).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y₆ + y₇) ∈ [160; 165). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:${Q^{\text{'}}}_3=165+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(5+9\right)}{8}\cdot \left(170-165\right)=\frac{5375}{32}$.