Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là x (m).

Chi phí để làm ba mặt hàng rào song song là: 3 ∙ x ∙ 50 000 = 150 000x (đồng).

Chi phí để làm mặt hàng rào song song với bờ sông là: 15 000 000 – 150 000x (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là

  $\frac{15000000-150000x}{60000}=\frac{1500-15x}{6}$ (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 100.

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kể, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là S(x) =  $\frac{x\left(1500-15x\right)}{6}=\frac{-15x^2+1500x}{6}$ (m²).

Xét hàm số  $S\left(x\right)=\frac{-15x^2+1500x}{6}$ với x ∈ (0; 100).

Ta có S'(x) =  $-\frac{15}{3}x+\frac{1500}{6}$.

Trên khoảng (0; 100), S'(x) = 0 khi x = 50.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 100), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 6 250 tại x = 50.

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6 250 m².

Gọi x (cm) là chiều rộng của trang sách.

Khi đó, chiều dài của trang sách là  $\frac{384}{x}$ (cm).

Sau khi để lề thì phần in chữ có dạng hình chữ nhật có chiều rộng là x – 4 (cm) và chiều dài là  $\frac{384}{x}-6$ (cm).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 4 < x < 64.

Diện tích phần in chữ trên trang sách là

S(x) =  $\left(x-4\right)\left(\frac{384}{x}-6\right)=\frac{-6x^2+408x-1536}{x}$ (cm²).

Xét hàm số S(x) =  $\frac{-6x^2+408x-1536}{x}$ với x ∈ (4; 64).

Ta có S'(x) =  $\frac{-6x^2+1536}{x^2}$ < 0;

S'(x) = 0 ⇔ – 6x² + 1 536 = 0 ⇔ x = – 16 hoặc x = 16.

Khi đó trên khoảng (4; 64), S'(x) = 0 khi x = 16.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (4; 64), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 216 tại x = 16. Khi đó,  $\frac{384}{16}=24$.

Vậy kích thước tối ưu của trang sách là 16 × 24 (cm) thì in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất.