Quan sát Hình 31, ta thấy trên các khoảng (0; 1) và (2; + ∞), đồ thị hàm số y = f'(x) nằm phía trên trục Ox, tức là f'(x) > 0 với mọi x ∈ (0; 1) ∪ (2; + ∞).

Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (2; + ∞).

Câu 2/17

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{4 x + 4}{x^{2} + 2 x + 1}$ là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số là ℝ \{– 1}.

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 4}{x^{2} + 2 x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{4}{x + 1} = 0$ ;

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{x^{2} + 2 x + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x + 1} = 0$ .

Do đó, đường thẳng y = 0 (hay trục Ox) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lại có $\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{4}{x + 1} = - \infty; \lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{4}{x + 1} = + \infty$ . Do đó, đường thẳng x = – 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2.

Câu 3/17

Hàm số nào có đồ thị như Hình 32?

A. y = – x³ + 3x – 2.

B. y = – x³ – 2.

C. y = – x³ + 3x² – 2.

D. y = x³ – 3x – 2.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta thấy đồ thị hàm số ở Hình 32 đi qua các điểm (1; 0), (2; 2), khi đó ta có y(1) = 0 và y(2) = 2, thay vào các hàm số đã cho, ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Câu 4/17

Đường cong ở Hình 33 là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

B. $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$ .

C. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

D. $y = \frac{- x}{x + 1}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta thấy đồ thị hàm số ở Hình 33 có tiệm cận ngang là đường thẳng y = – 1; tiệm cận đứng là đường thẳng x = – 1 và đi qua gốc tọa độ O(0; 0). Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án D thỏa mãn.

Câu 5/17

Các đồ thị hàm số ở Hình 34a, Hình 34b đều có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang (hoặc tiệm cận xiên). Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

a) $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ ;

b, $y = \frac{2 x - 5}{x - 1}$

c, $y = \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 34a, ta thấy đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, đường thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (đường màu xanh đi qua 2 điểm (0; 1) và (– 1; – 1)).

Trong các đáp án đã cho, xét hàm số ở đáp án c, ta thấy:

$\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1} = + \infty; \lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1} = - \infty$ . Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1}$ .

Ta có $y = \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1} = 2 x + 1 - \frac{1}{x + 1}$ .

$\lim_{x \to + \infty} [y - (2 x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{x + 1} = 0; \lim_{x \to - \infty} [y - (2 x + 1)] = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{x + 1} = 0$ . Do đó đường thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1}$ .

Vậy đồ thị hàm số ở Hình 34a là đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 1}$ .

Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 34b, ta thấy đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trong các đáp án còn lại, ta thấy hàm số ở đáp án a thỏa mãn do:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 3}{x + 1} = 2; \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{x + 1} = 2$ ;

$\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x + 3}{x + 1} = - \infty; \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x + 3}{x + 1} = + \infty$ .

Vậy đồ thị hàm số ở Hình 34b là đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ .

Câu 6/17

Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau: $y = \frac{5 x + 1}{3 x - 2}$ ;

Xem đáp án

Lời giải

$y = \frac{5 x + 1}{3 x - 2}$

Tập xác định của hàm số là $ℝ \ \{\frac{2}{3}\}$ .

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{5 x + 1}{3 x - 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{5 + \frac{1}{x}}{3 - \frac{2}{x}} = \frac{5}{3}$ ; $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{5 x + 1}{3 x - 2} = \frac{5}{3}$ . Do đó, đường thẳng $y = \frac{5}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to {\frac{2}{3}}^{-}} y = \lim_{x \to {\frac{2}{3}}^{-}} \frac{5 x + 1}{3 x - 2} = - \infty; \lim_{x \to {\frac{2}{3}}^{+}} y = \lim_{x \to {\frac{2}{3}}^{+}} \frac{5 x + 1}{3 x - 2} = + \infty$ . Do đó, đường thẳng $x = \frac{2}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.