Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau:   $y=\frac{5x+1}{3x-2}$;

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là x (m).

Chi phí để làm ba mặt hàng rào song song là: 3 ∙ x ∙ 50 000 = 150 000x (đồng).

Chi phí để làm mặt hàng rào song song với bờ sông là: 15 000 000 – 150 000x (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là

  $\frac{15000000-150000x}{60000}=\frac{1500-15x}{6}$ (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 100.

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kể, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là S(x) =  $\frac{x\left(1500-15x\right)}{6}=\frac{-15x^2+1500x}{6}$ (m²).

Xét hàm số  $S\left(x\right)=\frac{-15x^2+1500x}{6}$ với x ∈ (0; 100).

Ta có S'(x) =  $-\frac{15}{3}x+\frac{1500}{6}$.

Trên khoảng (0; 100), S'(x) = 0 khi x = 50.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 100), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 6 250 tại x = 50.

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6 250 m².

Đặt A'M = x (m).

Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2 200 – x (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2 200.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

AM =  $\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{M}^2}=\sqrt{{500}^2+x^2}$ (m);

BM =  $\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{M}^2}=\sqrt{{600}^2+{\left(2200-x\right)}^2}$ (m).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

D = AM + BM =  $\sqrt{{500}^2+x^2}+\sqrt{{600}^2+{\left(2200-x\right)}^2}$ (m).

Xét hàm số D(x) =  $\sqrt{{500}^2+x^2}+\sqrt{{600}^2+{\left(2200-x\right)}^2}$ với x ∈ (0; 2 200).

Ta có  $D^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{{500}^2+x^2}}+\frac{x-2200}{\sqrt{{600}^2+{\left(2200-x\right)}^2}}$;

Trên khoảng (0; 2 200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1 000.

Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng  $1100\sqrt{5}$ tại x = 1 000.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là  $1100\sqrt{5}$  m.