Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số có đáp án

a) Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên K. Ta nói

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

Lưu ý: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên từ trái qua phải; nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống từ trái qua phải.

b)

Ÿ Quan sát Hình 2 ta thấy

+ Trên khoảng (– ∞; 0), đồ thị hàm số y = f(x) = x² đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

+ Trên khoảng (0; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) = x² đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (0; + ∞).

Ÿ Ta có 2x > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và 2x < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).

Do đó, f'(x) > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).

Ÿ Mối liên hệ:

+ Trên khoảng (– ∞; 0), hàm số f(x) nghịch biến và f'(x) < 0.

+ Trên khoảng (0; + ∞), hàm số f(x) đồng biến và f'(x) > 0.

Ÿ Với x = 0, ta có f(0) = 0² = 0 và f'(0) = 2 ∙ 0 = 0.

Bảng biến thiên:

Hướng dẫn giải

Ÿ Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ÿ Ta có y' = 4x² – 4x + 1;

y' = 0 ⇔ 4x² – 4x + 1 = 0 ⇔ (2x – 1)² = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$ .

Ta có bảng xét dấu của y' như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Ÿ Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ÿ Ta có y' = 4x³ + 4x;

y' = 0 ⇔ 4x³ + 4x = 0 ⇔ x(x² + 1) = 0 ⇔ x = 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

a)

Ÿ Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ÿ Ta có f'(x) = 3x²;

f'(x) = 0 ⇔ 3x² = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

b) Ta có f'(x) = 3x² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

c) Phương trình f'(x) = 0 có 1 nghiệm.

Ÿ Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ÿ Ta có y' = $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ;

y' = 0 ⇔ $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$  = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng xét dấu của y' như sau:

Ta có với x ∈ (– ∞; 0], thì y' ≤ 0, với x ∈ [0; + ∞), thì y' ≥ 0.

Vậy hàm số $y =\sqrt{x^2+1}$  nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞).

a) Dựa vào đồ thị Hình 3, ta thấy

f(– 2) = – 1

f(x) > – 1 với x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2

Do đó, f(x) > f(– 2) với mọi x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2.

b) Dựa vào đồ thị Hình 3, ta thấy

f(0) = 3

f(x) < 3 với x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0

Do đó, f(x) < f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.