Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

33 người thi tuần này 4.6 2 K lượt thi 22 câu hỏi

Câu 1/22

Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6 dm. Bác Ánh cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng độ dài cạnh bằng x (dm), rồi gập tấm nhôm lại như Hình 7 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó.

V được tính theo x bởi công thức nào? Có thể tìm giá trị lớn nhất của V bằng cách nào?

Lời giải

Ta thấy độ dài x (dm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Từ giả thiết suy ra kích thước của khối hộp chữ nhật là x, 6 – 2x, 6 – 2x (dm).

Thể tích của khối hộp là V(x) = x(6 – 2x)² (dm²) với 0 < x < 3.

Ta phải tìm x₀ ∈ (0; 3) sao cho V(x₀) có giá trị lớn nhất.

Ta có V'(x) = (6 – 2x)² – 4x(6 – 2x) = (6 – 2x)(6 – 6x) = 12(3 – x)(1 – x).

Trên khoảng (0; 3), V'(x) = 0 khi x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số V'(x) như sau:

Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6 dm. Bác Ánh cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng độ dài cạnh bằng x (dm), (ảnh 2)

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 3), hàm số V(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16 tại x = 1.

Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì x = 1 (dm).

Câu 2/22

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [– 1; 1] và có đồ thị là đường cong ở Hình 8.

Quan sát đồ thị và cho biết:

a) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất;

b) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

Lời giải

Quan sát đồ thị Hình 8, ta thấy:

a) Điểm B(1; 3) thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất.

b) Điểm C(0; – 1) thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

Câu 3/22

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ trên đoạn [– 3; 3].

Lời giải

Do 0 ≤ x²≤ 9 với mọi x ∈ [– 3; 3] nên – 9 ≤ – x² ≤ 0 với mọi x ∈ [– 3; 3], khi đó ta suy ra 0 ≤ 9 – x² ≤ 9 với mọi x ∈ [– 3; 3], do đó $0 \leq \sqrt{9 - x^{2}} \leq 3$ với mọi x ∈ [– 3; 3], tức là 0 ≤ f(x) ≤ 3 với mọi x ∈ [– 3; 3].

Ta có f(0) = 3 nên $\max_{[- 3; 3]} f (x) = 3$ ; f(3) = f(– 3) = 0 nên $\min_{[- 3; 3]} f (x) = 0$ .

Câu 4/22

Cho hàm số $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ với x > 1.

a) Tính $\lim_{x \to 1^{+}} f (x), \lim_{x \to + \infty} f (x)$

Lời giải

Ta có $f (x) = x + \frac{1}{x - 1} = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ .

a) Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} - x + 1) = 1 > 0$ , $\lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0$ , x – 1 > 0 khi x → 1⁺.

Do đó, $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ .

Ta có

\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to + \infty} (x \cdot \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}) = + \infty

Câu 5/22

b) Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; + ∞).

Lời giải

b) Ta có $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ với x > 1.

f'(x) = 0 ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x = 2 (t/m) hoặc x = 0 (loại).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; + ∞) như sau:

b) Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; + ∞). (ảnh 1)

Câu 6/22

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) trên khoảng (1; +∞).

Lời giải

c) Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1; + ∞) là 3 tại x = 2 và hàm số này không có giá trị lớn nhất trên khoảng (1; + ∞).

Câu 7/22

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y = \frac{2 x - 5}{x - 1}$ trên nửa khoảng (1; 3].

Lời giải

Xét hàm số $y = \frac{2 x - 5}{x - 1}$ với x ∈ (1; 3].

Ta có: $y^{'} = \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

y' > 0 với mọi x ∈ (1; 3].

Ngoài ra $\lim_{x \to 1^{+}} y = - \infty$ , $\lim_{x \to 3^{-}} y = y (3) = \frac{1}{2}$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y= 2x-5/ x-1 trên nửa khoảng (1; 3]. (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra $\max_{(1; 3]} y = \frac{1}{2}$ tại x = 3 và hàm số y không có giá trị lớn nhất.

Câu 8/22

Cho hàm số y = f(x) = 2x³ – 6x, x ∈ [– 2; 2] có đồ thị là đường cong ở Hình 9.

a) Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị $M = \max_{[- 2; 2]} f (x), m = \min_{[- 2; 2]} f (x)$ bằng bao nhiêu.

b) Giải phương trình f'(x) = 0 với x ∈ (– 2; 2).

Lời giải

a) Từ đồ thị ở Hình 9 ta có .

b) Ta có f'(x) = 6x² – 6. Khi đó, trên khoảng (– 2; 2), f'(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = – 1.

Câu 9/22