Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án

Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian là gì? Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?

Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng;

b) Vectơ-không;

c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

a) Bằng vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$  ;

b) Là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$  .

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  bằng vectơ nào trong Hình 4?

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 6).

Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$  và $\overrightarrow{AC}$ ; $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$  và $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ .

Từ đó, hãy suy ra rằng

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\text{'}}D}$ .

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ . Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{b}$ .

b) Tổng của hai vectơ  và  bằng vectơ nào trong Hình 7?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$ .

Nêu định nghĩa tích của một số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$  trong mặt phẳng.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a, $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  khác $\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm O tùy ý.

a) Vẽ hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ .

b) Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$  có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$   trong mặt phẳng (P).

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}$  .

Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 3 cm (Hình 12).

Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}$  .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$   bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$  .

B. $\overrightarrow{C{A}^{\text{'}}}$  .

C. $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$  .

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}=3\overrightarrow{A^{\text{'}}G}$ .

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$  đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.