Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian là gì? Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\widehat{E{A}_{1}O}=60°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_4}\right|=4700\left(N\right)$  nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sin$\widehat{E{A}_{1}O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_1}$ ,$\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_1}$ , $\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_1}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên $\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{D}_1}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{E{B}_1}+\overrightarrow{E{C}_1}+\overrightarrow{E{D}_1}=4\overrightarrow{EO}$$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{P}$ , ở đó  là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

$\left|\overrightarrow{P}\right|=4\left|\overrightarrow{EO}\right|=4\cdot 2350\sqrt{3}=9400\sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13281$ (N).

Ÿ Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|=A^{\text{'}}B=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$  , $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a$ .

Do đó, $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$  .

Ÿ Ta có: $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}=\overrightarrow{C^{\text{'}}B}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}B},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CB{C}^{\text{'}}}$  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=45°$  . Vậy$\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=45°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\right|=D^{\text{'}}A=\sqrt{D{D^{\text{'}}}^2+D{A}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ , $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$  .