Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính A'B→⋅D'C'→, D'A→⋅BC→ .

Ta có: A'B→=D'C→ . Do đó, A'B→, D'C'→=D'C→, D'C'→=CD'C'^ . Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông. Suy ra CD'C'^=45° . Vậy A'B→, D'C'→=45° . Ta có A'B→=A'B=AA'2+AB2=a2+a2=a2 , D'C'→=D'C'=a . Do đó, A'B→⋅D'C'→=A'B→⋅D'C'→⋅cosA'B→,D'C'→=a2⋅a⋅cos45°=a2 . Ta có: D'A→=C'B→ . Do đó, D'A→, BC→=C'B→, BC→=CBC'^ . Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông. Suy ra CBC'^=45° . VậyD'A→, BC→=45° . Ta có D'A→=D'A=DD'2+DA2=a2+a2=a2 , BC→=BC=a . Do đó, D'A→⋅BC→=D'A→⋅BC→⋅cosD'A→,BC→=a2⋅a⋅cos45°=a2 .

Câu hỏi:

17/04/2024 24,288

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}, \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = (\vec{D^{'} C}, \vec{D^{'} C^{'}}) = \hat{C D^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C D^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A^{'} B}| = A^{'} B = \sqrt{A {A^{'}}^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{D^{'} C^{'}}| = D^{'} C^{'} = a$ .

Do đó, $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}} = |\vec{A^{'} B}| \cdot |\vec{D^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

Ta có: $\vec{D^{'} A} = \vec{C^{'} B}$ . Do đó, $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = (\vec{C^{'} B}, \vec{B C}) = \hat{C B C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{D^{'} A}| = D^{'} A = \sqrt{D {D^{'}}^{2} + D A^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{B C}| = B C = a$ .

Do đó,

\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = |\vec{D^{'} A}| \cdot |\vec{B C}| \cdot \cos (\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}, \vec{F_{4}}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Xem đáp án » 17/04/2024 67,796

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} = 3 \vec{A^{'} G}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 10,275

Câu 3:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\vec{u} = \vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\vec{A^{'} C}$ .

B. $\vec{C A^{'}}$ .

C. $\vec{A C^{'}}$ .

D. $\vec{C^{'} A}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 9,604

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a, $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

Xem đáp án » 17/04/2024 8,632

Câu 5:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\vec{B^{'} B} + \vec{A D} + \vec{C D} = \vec{B^{'} D}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 7,136

Câu 6:

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{M N}, \vec{B D}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 6,111

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Giải tích 12 - Phần giải tích

29 đề 27,975 lượt thi Thi thử
Giải bài tập Hình học 12

16 đề 13,489 lượt thi Thi thử
Giải SBT Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

2 đề 3,688 lượt thi Thi thử
Giải SBT Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

2 đề 3,047 lượt thi Thi thử
Giải sbt Giải tích 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 đề 2,377 lượt thi Thi thử
Giải SBT Toán 12 Bài tập ôn tập chương 2

2 đề 2,337 lượt thi Thi thử
Giải sbt Giải tích 12 Bài tập ôn tập chương 2

2 đề 2,312 lượt thi Thi thử
Giải sbt Giải tích 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

2 đề 2,204 lượt thi Thi thử
Giải SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

2 đề 2,154 lượt thi Thi thử
Giải SBT Toán 12 Bài 2: Tích phân

2 đề 2,086 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính A'B→⋅D'C'→, D'A→⋅BC→ .

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng A'C→=3A'G→ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ u→=A'A→+A'B'→+A'D'→ bằng vectơ nào dưới đây? A. A'C→ . B. CA'→ . C. AC'→ . D. C'A→ .

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng: a, MN→=12AB→+DC→

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: B'B→+AD→+CD→=B'D→ .

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ MN→, BD→ .

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}, \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} = 3 \vec{A^{'} G}$ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\vec{u} = \vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\vec{A^{'} C}$ .

B. $\vec{C A^{'}}$ .

C. $\vec{A C^{'}}$ .

D. $\vec{C^{'} A}$ .

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a, $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\vec{B^{'} B} + \vec{A D} + \vec{C D} = \vec{B^{'} D}$ .

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{M N}, \vec{B D}$ .