Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính A'B→⋅D'C'→, D'A→⋅BC→ .

Ta có: A'B→=D'C→ . Do đó, A'B→, D'C'→=D'C→, D'C'→=CD'C'^ . Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông. Suy ra CD'C'^=45° . Vậy A'B→, D'C'→=45° . Ta có A'B→=A'B=AA'2+AB2=a2+a2=a2 , D'C'→=D'C'=a . Do đó, A'B→⋅D'C'→=A'B→⋅D'C'→⋅cosA'B→,D'C'→=a2⋅a⋅cos45°=a2 . Ta có: D'A→=C'B→ . Do đó, D'A→, BC→=C'B→, BC→=CBC'^ . Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông. Suy ra CBC'^=45° . VậyD'A→, BC→=45° . Ta có D'A→=D'A=DD'2+DA2=a2+a2=a2 , BC→=BC=a . Do đó, D'A→⋅BC→=D'A→⋅BC→⋅cosD'A→,BC→=a2⋅a⋅cos45°=a2 .

Câu hỏi:

17/04/2024 34,700

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}, \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = (\vec{D^{'} C}, \vec{D^{'} C^{'}}) = \hat{C D^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C D^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A^{'} B}| = A^{'} B = \sqrt{A {A^{'}}^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{D^{'} C^{'}}| = D^{'} C^{'} = a$ .

Do đó, $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}} = |\vec{A^{'} B}| \cdot |\vec{D^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

Ta có: $\vec{D^{'} A} = \vec{C^{'} B}$ . Do đó, $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = (\vec{C^{'} B}, \vec{B C}) = \hat{C B C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{D^{'} A}| = D^{'} A = \sqrt{D {D^{'}}^{2} + D A^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{B C}| = B C = a$ .

Do đó,

\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = |\vec{D^{'} A}| \cdot |\vec{B C}| \cdot \cos (\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}, \vec{F_{4}}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Xem đáp án » 17/04/2024 152,273

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\vec{u} = \vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\vec{A^{'} C}$ .

B. $\vec{C A^{'}}$ .

C. $\vec{A C^{'}}$ .

D. $\vec{C^{'} A}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 16,676

Câu 3:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} = 3 \vec{A^{'} G}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 13,921

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a, $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

Xem đáp án » 17/04/2024 10,957

Câu 5:

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{M N}, \vec{B D}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 10,212

Câu 6:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\vec{B^{'} B} + \vec{A D} + \vec{C D} = \vec{B^{'} D}$ .

Xem đáp án » 17/04/2024 7,613

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính A'B→⋅D'C'→, D'A→⋅BC→ .

Bình luận

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ u→=A'A→+A'B'→+A'D'→ bằng vectơ nào dưới đây? A. A'C→ . B. CA'→ . C. AC'→ . D. C'A→ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng A'C→=3A'G→ .

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng: a, MN→=12AB→+DC→

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ MN→, BD→ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: B'B→+AD→+CD→=B'D→ .

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}, \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\vec{u} = \vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\vec{A^{'} C}$ .

B. $\vec{C A^{'}}$ .

C. $\vec{A C^{'}}$ .

D. $\vec{C^{'} A}$ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} = 3 \vec{A^{'} G}$ .

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a, $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{M N}, \vec{B D}$ .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\vec{B^{'} B} + \vec{A D} + \vec{C D} = \vec{B^{'} D}$ .