Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}$  .

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\widehat{E{A}_{1}O}=60°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_4}\right|=4700\left(N\right)$  nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sin$\widehat{E{A}_{1}O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_1}$ ,$\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_1}$ , $\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_1}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên $\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{D}_1}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{E{B}_1}+\overrightarrow{E{C}_1}+\overrightarrow{E{D}_1}=4\overrightarrow{EO}$$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{P}$ , ở đó  là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

$\left|\overrightarrow{P}\right|=4\left|\overrightarrow{EO}\right|=4\cdot 2350\sqrt{3}=9400\sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13281$ (N).

Ÿ Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|=A^{\text{'}}B=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$  , $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a$ .

Do đó, $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$  .

Ÿ Ta có: $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}=\overrightarrow{C^{\text{'}}B}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}B},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CB{C}^{\text{'}}}$  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=45°$  . Vậy$\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=45°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\right|=D^{\text{'}}A=\sqrt{D{D^{\text{'}}}^2+D{A}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ , $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$  .