Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

39 người thi tuần này 4.6 879 lượt thi 17 câu hỏi

Câu 1/17

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác dụng lên giá đỡ?

Xem đáp án

Lời giải

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} .

Suy ra $\vec{P Q_{1}} = (0 - 0; - 1 - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{1}} = (0; - 1; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ .

Suy ra $|\vec{P Q_{1}}| = |\vec{P Q_{2}}| = |\vec{P Q_{3}}| = \sqrt{17}$ . Do đó, $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}|$ .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\vec{F_{1}} = c \vec{P Q_{1}} = (0; - c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{2}} = c \vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{3}} = c \vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; - 12 c)$ .

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F} = (0; 0; - 360)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy $\vec{F_{1}} = (0; - 30; - 120); \vec{F_{2}} = (15 \sqrt{3}; 15; - 120); \vec{F_{3}} = (- 15 \sqrt{3}; 15; - 120)$ .

Câu 2/17

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

a) Biểu diễn các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo ba vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ nên $\vec{u} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}$ .

Ta có $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ nên $\vec{v} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k}$ .

Câu 3/17

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Biểu diễn vectơ $\vec{O M}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ .

Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B).

Xem đáp án

Lời giải

Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

Ta có A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) nên $\vec{O A}$ = (x_A; y_A; z_A) và $\vec{O B}$ = (x_B; y_B; z_B).

Khi đó, $\vec{O A} + \vec{O B}$ = (x_A + x_B; y_A + y_B; z_A + z_B).

Suy ra $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) = (\frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}); \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}); \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}))$ .

Do đó,

M (\frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}); \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}); \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}))

hay

\{\begin{cases} x_{M} = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}) \\ y_{M} = \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}) \\ z_{M} = \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}) \end{cases}

Câu 4/17

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

Biểu diễn vectơ $\vec{O G}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ , $\vec{O C}$ .

Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Xem đáp án

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:

$\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ .

Ta có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Suy ra $\vec{O A}$ = (x_A; y_A; z_A), $\vec{O B}$ = (x_B; y_B; z_B), $\vec{O C}$ = (x_C; y_C; z_C).

Khi đó, = (x_A + x_B + x_C; y_A + y_B + y_C; z_A + z_B + z_C).

Suy ra $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

Do đó, $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ hay $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases}$ .

Câu 5/17

Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 4), \vec{A G} = (1; 3; - 1)$ .

Suy ra $\vec{A B} = (1; 1; 4) \neq k \vec{A G} = (k; 3 k; - k)$ với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A G}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\{\begin{cases} 1 = \frac{0 + 1 + x_{C}}{3} \\ 2 = \frac{- 1 + 0 + y_{C}}{3} \\ 0 = \frac{1 + 5 + z_{C}}{3} \end{cases}$ .

Suy ra x_C = 3 – 1 = 2, y_C = 6 + 1 = 7, z_C = 0 – 6 = – 6.

Vậy C(2; 7; – 6).

Câu 6/17

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Hãy biểu diễn các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ và tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Do đó, $\vec{u} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}$ , $\vec{v} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k}$ .

Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}) \cdot (x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k})$

$= x_{1} x_{2} {\vec{i}}^{2} + x_{1} y_{2} \vec{i} \cdot \vec{j} + x_{1} z_{2} \vec{i} \cdot \vec{k} + y_{1} x_{2} \vec{j} \cdot \vec{i} + y_{1} y_{2} {\vec{j}}^{2} + y_{1} z_{2} \vec{j} \cdot \vec{k} + z_{1} x_{2} \vec{k} \cdot \vec{i} + z_{1} y_{2} \vec{k} \cdot \vec{j} + z_{1} z_{2} {\vec{k}}^{2}$ .

Mà ${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$ (do $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ .

Câu 7/17