Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} .

Suy ra $\vec{P Q_{1}} = (0 - 0; - 1 - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{1}} = (0; - 1; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ .

Suy ra $|\vec{P Q_{1}}| = |\vec{P Q_{2}}| = |\vec{P Q_{3}}| = \sqrt{17}$ . Do đó, $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}|$ .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\vec{F_{1}} = c \vec{P Q_{1}} = (0; - c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{2}} = c \vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{3}} = c \vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; - 12 c)$ .

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F} = (0; 0; - 360)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy $\vec{F_{1}} = (0; - 30; - 120); \vec{F_{2}} = (15 \sqrt{3}; 15; - 120); \vec{F_{3}} = (- 15 \sqrt{3}; 15; - 120)$ .

Câu 2/17

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

a) Biểu diễn các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo ba vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ nên $\vec{u} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}$ .

Ta có $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ nên $\vec{v} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k}$ .

Câu 3/17

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Biểu diễn vectơ $\vec{O M}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ .

Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B).

Xem đáp án

Lời giải

Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

Ta có A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) nên $\vec{O A}$ = (x_A; y_A; z_A) và $\vec{O B}$ = (x_B; y_B; z_B).

Khi đó, $\vec{O A} + \vec{O B}$ = (x_A + x_B; y_A + y_B; z_A + z_B).

Suy ra $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) = (\frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}); \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}); \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}))$ .

Do đó,

M (\frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}); \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}); \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}))

hay

\{\begin{cases} x_{M} = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}) \\ y_{M} = \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}) \\ z_{M} = \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}) \end{cases}

Câu 4/17

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

Biểu diễn vectơ $\vec{O G}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ , $\vec{O C}$ .

Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Xem đáp án

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:

$\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ .

Ta có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Suy ra $\vec{O A}$ = (x_A; y_A; z_A), $\vec{O B}$ = (x_B; y_B; z_B), $\vec{O C}$ = (x_C; y_C; z_C).

Khi đó, = (x_A + x_B + x_C; y_A + y_B + y_C; z_A + z_B + z_C).

Suy ra $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

Do đó, $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ hay $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases}$ .

Câu 5/17

Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 4), \vec{A G} = (1; 3; - 1)$ .

Suy ra $\vec{A B} = (1; 1; 4) \neq k \vec{A G} = (k; 3 k; - k)$ với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A G}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\{\begin{cases} 1 = \frac{0 + 1 + x_{C}}{3} \\ 2 = \frac{- 1 + 0 + y_{C}}{3} \\ 0 = \frac{1 + 5 + z_{C}}{3} \end{cases}$ .

Suy ra x_C = 3 – 1 = 2, y_C = 6 + 1 = 7, z_C = 0 – 6 = – 6.

Vậy C(2; 7; – 6).

Câu 6/17

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Hãy biểu diễn các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ và tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Do đó, $\vec{u} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}$ , $\vec{v} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k}$ .

Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}) \cdot (x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k})$

$= x_{1} x_{2} {\vec{i}}^{2} + x_{1} y_{2} \vec{i} \cdot \vec{j} + x_{1} z_{2} \vec{i} \cdot \vec{k} + y_{1} x_{2} \vec{j} \cdot \vec{i} + y_{1} y_{2} {\vec{j}}^{2} + y_{1} z_{2} \vec{j} \cdot \vec{k} + z_{1} x_{2} \vec{k} \cdot \vec{i} + z_{1} y_{2} \vec{k} \cdot \vec{j} + z_{1} z_{2} {\vec{k}}^{2}$ .

Mà ${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$ (do $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).