b) Cho hai vectơ u→=x1; y1; z1 và v→=x2; y2; z2 không cùng phương. Xét vectơ w→=y1z2−y2z1; z1x2−z2x1; x1y2−x2y1 . Tính w→⋅ u→, w→⋅v→ . Vectơ w→ có vuông góc với cả hai vectơ u→ và hay không?

b) Ta có: w→⋅ u→=y1z2−y2z1⋅x1+z1x2−z2x1⋅y1+x1y2−x2y1⋅z1 = y1z2x1 – y2z1x1 + z1x2y1 – z2x1y1 + x1y2z1 – x2y1z1 = (y1z2x1 – z2x1y1) + (x1y2z1 – y2z1x1) + (z1x2y1 – x2y1z1) = 0; w→⋅ v→=y1z2−y2z1⋅x2+z1x2−z2x1⋅y2+x1y2−x2y1⋅z2 = y1z2x2 – y2z1x2 + z1x2y2 – z2x1y2 + x1y2z2 – x2y1z2 = (y1z2x2 – x2y1z2) + (x1y2z2 – z2z1y2) + (z1x2y2 – y2z1x2) = 0. Vì w→⋅ u→=0, w→⋅v→=0 nên vectơ w→ vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→ .

Câu hỏi:

17/04/2024 1,083

b) Cho hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ không cùng phương.

Xét vectơ $\vec{w} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}; z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}; x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})$ .

Tính $\vec{w} \cdot \vec{u}, \vec{w} \cdot \vec{v}$ .

Vectơ $\vec{w}$ có vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và hay không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\vec{w} \cdot \vec{u} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) \cdot x_{1} + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}) \cdot y_{1} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) \cdot z_{1}$

= y₁z₂x₁ – y₂z₁x₁ + z₁x₂y₁ – z₂x₁y₁ + x₁y₂z₁ – x₂y₁z₁

= (y₁z₂x₁ – z₂x₁y₁) + (x₁y₂z₁– y₂z₁x₁) + (z₁x₂y₁– x₂y₁z₁) = 0;

$\vec{w} \cdot \vec{v} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) \cdot x_{2} + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}) \cdot y_{2} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) \cdot z_{2}$

= y₁z₂x₂ – y₂z₁x₂ + z₁x₂y₂ – z₂x₁y₂ + x₁y₂z₂ – x₂y₁z₂

= (y₁z₂x₂ – x₂y₁z₂) + (x₁y₂z₂– z₂z₁y₂) + (z₁x₂y₂– y₂z₁x₂) = 0.

Vì $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0, \vec{w} \cdot \vec{v} = 0$ nên vectơ $\vec{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác dụng lên giá đỡ?

Xem đáp án

Lời giải

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} .

Suy ra $\vec{P Q_{1}} = (0 - 0; - 1 - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{1}} = (0; - 1; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ .

Suy ra $|\vec{P Q_{1}}| = |\vec{P Q_{2}}| = |\vec{P Q_{3}}| = \sqrt{17}$ . Do đó, $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}|$ .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\vec{F_{1}} = c \vec{P Q_{1}} = (0; - c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{2}} = c \vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{3}} = c \vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; - 12 c)$ .

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F} = (0; 0; - 360)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy $\vec{F_{1}} = (0; - 30; - 120); \vec{F_{2}} = (15 \sqrt{3}; 15; - 120); \vec{F_{3}} = (- 15 \sqrt{3}; 15; - 120)$ .

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 0; 1), \vec{A C} = (1; 1; 1)$ .

Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ .

Suy ra hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Câu 3