Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;0;-3\right)$  và $\overrightarrow{v}=\left(0;0;3\right)$ . Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$   khác $\overrightarrow{0}$  vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{v}$  .

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$}, Q_{3 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$} .

Suy ra $\overrightarrow{P{Q}_1}=\left(0-0;-1-0;0-4\right)$   hay $\overrightarrow{P{Q}_1}=\left(0;-1;-4\right)$  ;

         $\overrightarrow{P{Q}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\frac{1}{2}-0;0-4\right)$  hay $\overrightarrow{P{Q}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-4\right)$ ;

         $\overrightarrow{P{Q}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\frac{1}{2}-0;0-4\right)$  hay $\overrightarrow{P{Q}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-4\right)$ .

Suy ra $\left|\overrightarrow{P{Q}_1}\right|=\left|\overrightarrow{P{Q}_2}\right|=\left|\overrightarrow{P{Q}_3}\right|=\sqrt{17}$ . Do đó, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|$  .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{P{Q}_1}=\left(0;-c;-4c\right)$;

$\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{P{Q}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c;\frac{1}{2}c;-4c\right)$;

$\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{P{Q}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}c;\frac{1}{2}c;-4c\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\left(0;0;-12c\right)$.

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}$ , trong đó $\overrightarrow{F}=\left(0;0;-360\right)$   là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

 Vậy $\overrightarrow{F_1}=\left(0;-30;-120\right);\overrightarrow{F_2}=\left(15\sqrt{3};15;-120\right);\overrightarrow{F_3}=\left(-15\sqrt{3};15;-120\right)$ .

Ta có  $\overrightarrow{AB}=\left(-1;0;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;1;1\right)$.

Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ .

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$  và  $\overrightarrow{AC}$vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.