Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ u→=x1; y1; z1 , v→=x2; y2; z2 . Hãy biểu diễn các vectơ u→, v→ theo ba vectơ đơn vị i→, j→, k→ và tính tích vô hướng u→⋅v→ .

Ta có u→=x1; y1; z1, v→=x2; y2; z2 . Do đó,u→=x1i→ +y1j→+ z1k→ ,v→=x2i→+ y2j→ +z2k→ . Ta có u→⋅v→=x1i→ +y1j→+ z1k→⋅x2i→ +y2j→+ z2k→ =x1x2i→2+x1y2i→⋅j→+x1z2i→⋅k→+y1x2j→⋅i→+y1y2j→2+y1z2j→⋅k→+z1x2k→⋅i→+z1y2k→⋅j→+z1z2k→2. Mà i→2=j→2=k→2=1 và i→⋅j→=j→⋅k→=k→⋅i→=0 (do i→, j→, k→ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau). Do đó, u→⋅v→=x1x2+y1y2+z1z2 .

Câu hỏi:

17/04/2024 1,666

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Hãy biểu diễn các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ và tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Do đó, $\vec{u} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}$ , $\vec{v} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k}$ .

Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k}) \cdot (x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k})$

$= x_{1} x_{2} {\vec{i}}^{2} + x_{1} y_{2} \vec{i} \cdot \vec{j} + x_{1} z_{2} \vec{i} \cdot \vec{k} + y_{1} x_{2} \vec{j} \cdot \vec{i} + y_{1} y_{2} {\vec{j}}^{2} + y_{1} z_{2} \vec{j} \cdot \vec{k} + z_{1} x_{2} \vec{k} \cdot \vec{i} + z_{1} y_{2} \vec{k} \cdot \vec{j} + z_{1} z_{2} {\vec{k}}^{2}$ .

Mà ${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$ (do $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ .

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác dụng lên giá đỡ?

Xem đáp án

Lời giải

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$}, Q_{3 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$} .

Suy ra $\vec{P Q_{1}} = (0 - 0; - 1 - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{1}} = (0; - 1; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ ;

$\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; \frac{1}{2} - 0; 0 - 4)$ hay $\vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; - 4)$ .

Suy ra $|\vec{P Q_{1}}| = |\vec{P Q_{2}}| = |\vec{P Q_{3}}| = \sqrt{17}$ . Do đó, $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}|$ .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\vec{F_{1}} = c \vec{P Q_{1}} = (0; - c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{2}} = c \vec{P Q_{2}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ ;

$\vec{F_{3}} = c \vec{P Q_{3}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} c; \frac{1}{2} c; - 4 c)$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; - 12 c)$ .

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F} = (0; 0; - 360)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy $\vec{F_{1}} = (0; - 30; - 120); \vec{F_{2}} = (15 \sqrt{3}; 15; - 120); \vec{F_{3}} = (- 15 \sqrt{3}; 15; - 120)$ .

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 0; 1), \vec{A C} = (1; 1; 1)$ .

Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ .

Suy ra hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Câu 3