Cho hình vẽ bên, diện tích của ba tam giác lần lượt là 5 cm², 8 cm², 10 cm². Tính diện tích phần tứ giác tô đâm.

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Diện tích phần tô đậm cần tính là diện tích của tứ giác AMON.

Ta có $\frac{{\text{S}}_{\text{BOM}}}{{\text{S}}_{\text{BOC}}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ mà 2 tam giác này chung đáy BO nên chiều cao hạ từ M xuống BO bằng $\frac{1}{2}$ chiều cao hạ từ C xuống BO.

Tam giác MON và tam giác NOC có chung đáy ON và chiều cao hạ từ M xuống ON bằng $\frac{1}{2}$  chiều cao hạ từ C xuống ON nên $\frac{{\text{S}}_{\text{MON}}}{{\text{S}}_{\text{NOC}}}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra S_MON = $\frac{1}{2}$ S_NOC = $\frac{1}{2}\times 8=4$ (cm²).

Ta có $\frac{{\text{S}}_{\text{MNC}}}{{\text{S}}_{\text{BNC}}}=\frac{4+8}{10+8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$  mà 2 tam giác này có chung đáy CN nên chiều cao hạ từ M xuống CN bằng $\frac{2}{3}$  chiều cao hạ từ B xuống CN.

Tam giác AMC và tam giác ABC có chung đáy AC, chiều cao hạ từ M xuống AC bằng $\frac{2}{3}$  chiều cao hạ từ B xuống AC nên $\frac{{\text{S}}_{\text{AMC}}}{{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{2}{3}$ .

Ta có S_AMC + S_BMC = S_ABC nên suy ra S_BMC = S_ABC – S_AMC = S_ABC –$\frac{2}{3}$ S_ABC = $\frac{1}{3}$ S_ABC.

Do đó S_ABC = 3S_BMC = 3 × (5 + 10) = 45 (cm²).

Diện tích tam giác AMC là $\frac{2}{3}\times 45=30$ (cm²).

Diện tích tứ giác AMON là 30 – 8 = 22 (cm²).