Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {1\,;\,\,m} \right).\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để qua \(A\) có thể kẻ được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị \(\left( C \right).\) Số phần tử của \(S\) là

Gọi \(k\) là hệ số góc của đường thẳng \(d\) qua \[A.\]

Ta có phương trình của \(d\) có dạng: \(y = kx + m - k.\)

\(d\) tiếp xúc với \((C) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{kx + m - k = {x^3} + 3{x^2} + 1}\\{k = 3{x^2} + 6x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 2{x^3} + 6x + 1\,\,(*)}\\{k = 3{x^2} + 6x}\end{array}} \right.} \right.\) có nghiệm.

Để qua \(A\) có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới \((C)\).

Khi phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {y_{CT}} < m < {y_{CD}}\) với \(f(x) =  - 2{x^3} + 6x + 1.\)

Ta có \[f'(x) =  - 6{x^2} + 6\,;\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\] \(f(1) = 5 = {f_{CD}};\,\,f( - 1) =  - 3 = {f_{CT}}.\)

Suy ra \( - 3 < m < 5.\) Vậy số phần tử của \(S\) là 7. Chọn B.