Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và hai điểm \(A\left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - 3} \right),\) \(B\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,2} \right).\) Biết điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho biểu thức \(T = \left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất là \({T_{\max }}.\) Khi đó \({T_{\max }}\) bằng bao nhiêu?

Ta có\(A\left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - 3} \right),\)\(B\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\,5} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \[AB\] là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 1 - t\\z =  - 3 + 5t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Xét vị trí tương đối giữa \[AB\] và \(\Delta \) ta có \[AB\] cắt \(\Delta \) tại \(C\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \Rightarrow C\) là trung điểm của \[AB\].

\(T = \left| {MA - MB} \right| \le AB.\) Dấu "=" xảy ra khi \(M \equiv A\) hoặc \(M \equiv B.\)

Do đó \({T_{\max }} = AB = \sqrt {27}  = 3\sqrt 3 .\) Chọn C.