Câu hỏi:

13/07/2024 1,122

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(0) = 0\) và \(f'\left( x \right)\left( {1 + {e^{f\left( x \right)}}} \right) = 1 + {e^x},\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 3\) bằng

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có \[f'\left( x \right)\left[ {1 + {e^{f\left( x \right)}}} \right] = 1 + {e^x} \Rightarrow f'\left( x \right) + f'\left( x \right)\,{e^{f\left( x \right)}} = 1 + {e^x}\]

\( \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}}} \right]^\prime } = 1 + {e^x}\)\( \Rightarrow \int {{{\left[ {f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}}} \right]}^\prime }} {\rm{d}}x = \int {\left( {1 + {e^x}} \right)\,} {\rm{d}}x\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}} = x + {e^x} + C\).

Lại có \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) + {e^{f\left( x \right)}} = x + {e^x}.\)

Xét hàm số \(g(t) = t + {e^t}\) với \(t \in \mathbb{R}.\)

Ta có \(g'\left( t \right) = 1 + {e^t} > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên.

Suy ra \(f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}} = x + {e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = x.\)

Do đó diện tích hình phẳng đó là: \(S = \int\limits_1^3 {x\;{\rm{d}}x}  = \left. {\frac{1}{2}{x^2}} \right|_1^3 = 4.\)

Đáp án: 4.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Để tăng nhiệt độ trong phòng từ \(28^\circ {\rm{C}}\), một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi \(T\) (đơn vị \(^\circ C\)) là nhiệt độ phòng ở phút thứ \(t\) được cho bởi công thức \(T =  - 0,008{t^3} - 0,16t + 28\) với \(t \in \left[ {1\,;\,\,10} \right].\) Nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống bắt đầu hoạt động là bao nhiêu độ C?

Xem đáp án » 13/07/2024 22,227

Câu 2:

Dân cư nông thôn của nước ta có đặc điểm nào sau đây?

Xem đáp án » 29/06/2024 21,146

Câu 3:

Media VietJack
Đường gấp khúc ABC trong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,\,3} \right].\) Khi đó, tích phân \(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Xem đáp án » 19/06/2024 8,441

Câu 4:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\) Mặt phẳng \(\left( P \right):x + ay + bz + c = 0\,\,\,(c > 0)\) song song với \({d_1},\,\,{d_2}\) và khoảng cách từ \({d_1}\) đến \(\left( P \right)\) bằng 2 lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến \(\left( P \right)\). Tính

Xem đáp án » 11/07/2024 2,081

Câu 5:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho ba điểm \[A\left( {3\,;\,\,5\,;\, - 1} \right),\,\,B\left( {7\,;\,\,x\,;\,\,1} \right)\] và \(C\left( {9\,;\,\,2\,;\,\,y} \right).\) Để ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng thì giá trị \(x + y\) bằng

Xem đáp án » 18/06/2024 1,910

Câu 6:

Đại hội Quốc dân họp ở Tân Trào (8-1945) đã quyết định thành lập

Xem đáp án » 29/06/2024 1,743

Câu 7:

Trong số các loại polymer sau: nylon-6; tơ acetate; tơ tằm; tơ visco; nylon-6,6; tơ nitron; cao su buna; poly(methyl methacrylate); cao su thiên nhiên; PVC. Số polymer tổng hợp là 

Xem đáp án » 05/08/2024 1,388