Câu hỏi:
13/07/2024 2,402
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(0) = 0\) và \(f'\left( x \right)\left( {1 + {e^{f\left( x \right)}}} \right) = 1 + {e^x},\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 3\) bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có \[f'\left( x \right)\left[ {1 + {e^{f\left( x \right)}}} \right] = 1 + {e^x} \Rightarrow f'\left( x \right) + f'\left( x \right)\,{e^{f\left( x \right)}} = 1 + {e^x}\]
\( \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}}} \right]^\prime } = 1 + {e^x}\)\( \Rightarrow \int {{{\left[ {f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}}} \right]}^\prime }} {\rm{d}}x = \int {\left( {1 + {e^x}} \right)\,} {\rm{d}}x\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}} = x + {e^x} + C\).
Lại có \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) + {e^{f\left( x \right)}} = x + {e^x}.\)
Xét hàm số \(g(t) = t + {e^t}\) với \(t \in \mathbb{R}.\)
Ta có \(g'\left( t \right) = 1 + {e^t} > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên.
Suy ra \(f\left( x \right) + {e^{f\left( x \right)}} = x + {e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = x.\)
Do đó diện tích hình phẳng đó là: \(S = \int\limits_1^3 {x\;{\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{2}{x^2}} \right|_1^3 = 4.\)
Đáp án: 4.
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Xét hàm số \(T = - 0,008{t^3} - 0,16t + 28\) với \(t \in \left[ {1\,;\,\,10} \right].\)
Ta có \(T' = - 0,024{t^2} - 0,16\) với \(t \in \left[ {1\,;\,\,10} \right].\)
Suy ra hàm số \(T\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1\,;\,\,10} \right].\)
Nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được là:
\({T_{\min }} = T\left( {10} \right) = - 0,008 \cdot {10^3} - 0,16 \cdot 10 + 28 = 18,4\;\,\left( {^\circ C} \right)\).
Đáp án: \(18,4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.