Cho phương trình \(\log _3^2x + 3m{\log _3}\left( {3x} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \({x_1} + {x_2} < \frac{{10}}{3}.\) Số phần tử của \(S\) là

Đặt \(t = {\log _3}x \Rightarrow x = {3^t}.\)

Phương trình trở thành: \({t^2} + 3m(1 + t) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} + 3mt + 2{m^2} + m - 1 = 0\)

Ta có \(\Delta  = {(m - 2)^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = \frac{{ - 3m + m - 2}}{2} =  - m - 1}\\{{t_2} = \frac{{ - 3m - m + 2}}{2} =  - 2m + 1}\end{array}} \right.\).

Khi đó \({t_1} = {\log _3}{x_1}\) và \({t_2} = {\log _3}{x_2}\).

Mà \({x_1} + {x_2} < \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow {3^{ - m - 1}} + {3^{ - 2m + 1}} < \frac{{10}}{3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{ - m}}}}{3} + 3 \cdot {\left( {{3^{ - m}}} \right)^2} < \frac{{10}}{3}\).

Đặt \({3^{ - m}} = u > 0\)

\({\rm{ (1) }} \Leftrightarrow 3{u^2} + \frac{u}{3} - \frac{{10}}{3} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 10}}{9} < u < 1\)\( \Leftrightarrow  - \frac{{10}}{9} < {3^{ - m}} < 1 \Leftrightarrow  - m < 0 \Leftrightarrow m > 0\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow m \ne 2\). Vậy \(S\) có vô số phần tử.

Đáp án: Vô số.