Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y - 3z - 3 = 0.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) và \((\alpha ),\,\,A\) thuộc \(d\) sao cho \(AM = \sqrt {14} .\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((\alpha ).\)

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right).\)

Mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y - 3z - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right).\)

Ta có \[\sin \left( {d\,,\,\,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {\vec u \cdot \vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.\]

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \((\alpha ).\)

Khi đó tam giác \[MAH\] vuông tại \(H\) nên

\(\sin \left( {d\,,\,\left( \alpha  \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}\)\( \Rightarrow AH = AM \cdot \sin \left( {d\,,\,\left( \alpha  \right)} \right) = 3.\)

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((\alpha )\) bằng 3.

Đáp án: 3.