Cho \[X\] là tập hợp tất cả các số phức \[z\] có phần thực và phần ảo không vượt quá 4, đồng thời tổng của phần thực và phần ảo không nhỏ hơn 6. Gọi m là môđun nhỏ nhất của các số phức trong \[X\] và \[M\] là môđun lớn nhất của các số phức trong \[X.\] Hỏi giá trị của tích \[M \cdot m\] bằng bao nhiêu?

Đặt \(z = x + yi\quad (x,y \in \mathbb{R})\)

Với toạ độ các đỉnh là \(A\left( {4\,;\,\,4} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\,2} \right)\) và \(C\left( {2\,;\,\,4} \right).\)

Ta có \(\left| z \right| = OM\) với \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\).

Khi đó, điểm \(M\) nằm trong tam giác \[ABC\].

Gọi \(H\left( {3\,;\,\,3} \right)\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow O,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng

Suy ra \({\left| z \right|_{\max }} = O{M_{\max }} = OA = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 .\)

Và \({\left| z \right|_{\min }} = O{M_{\min }} = OH = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 .\)

Vậy \(M \cdot m = 4\sqrt 2  \cdot 3\sqrt 2  = 24.\)

Đáp án: 24.