Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( left( {x; , ,y} right) ) thỏa mãn ({ log _3} left( {{x^2} + y + 3x} right) + { log _2} left( {{x^2} + y} right) le { log _3}x + { log _2} left( {{x^2} + y + 18x} ri...

({ log _3} left( {{x^2} + y + 3x} right) + { log _2} left( {{x^2} + y} right) le { log _3}x + { log _2} left( {{x^2} + y + 18x} right) ) ( Leftrightarrow { log _3} left( { frac{{{x^2} + y + 3x}}{x}} right) - { log _2} left( { frac{{{x^2} + y + 18x}}{{{x^2} + y}}} right) le 0 ) ( Leftrightarrow { log _3} left( {3 + frac{{{x^2} + y}}{x}} right) - { log _2} left( {1 + frac{{18x}}{{{x^2} + y}}} right) le 0 , , ,(*) ) Đặt (t = frac{{{x^2} + y}}{x} ). Khi đó ((*) Leftrightarrow { log _3}(3 + t) - { log _2} left( {1 + frac{{18}}{t}} right) le 0(1) ) Xét hàm (f(t) = { log _3}(3 + t) - { log _2} left( {1 + frac{{18}}{t}} right), ) ( , ,f'(t) = frac{1}{{(3 + t) ln 3}} + frac{{18}}{{ left( {{t^2} + 18t} right) ln 2}} > 0, , , forall t > 0 ) Suy ra hàm số đồng biến trên ( left( {0 ,; , , + infty } right) ). Lại có (f(6) = 0 Rightarrow (1) Leftrightarrow f(t) le f(6) Leftrightarrow t le 6 ) hay ( frac{{{x^2} + y}}{x} le 6 ) [ Leftrightarrow {x^2} + y - 6x le 0 Leftrightarrow 9 - y ge { left( {x - 3} right)^2}. ] Cho (y ) ứng với các số nguyên dương từ 0 đến 9 ta được 35 cặp giá trị thoả mãn. Vậy có 35 cặp số nguyên dương ( left( {x ,; , ,y} right) ) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: [ frac{3}{5} ].