Câu hỏi:

13/07/2024 177

Cho khối tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AC\] và \[BD\] thoả mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \[ABCD\] đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi \[E,\,\,F\] lần lượt là trung điểm của \[BD,\,\,AC.\]

Giả sử \[AC = a\,;\,\,BD = b\], theo giả thiết ta có \({a^2} + {b^2} = 16\,\,(a,b > 0)\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có: AC chung; \(AB = AD\); \(BC = CD\).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta ADC\,\,(c.c.c)\)

Suy ra \(BF = GF\) (hai trung tuyến tương ứng).

Ta có \(BF = \sqrt {A{B^2} - A{F^2}}  = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {36 - \frac{{{a^2}}}{4}} \)

\(EF = \sqrt {B{F^2} - B{E^2}}  = \sqrt {36 - \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{b^2}}}{4}}  = \sqrt {36 - \frac{{16}}{4}}  = \sqrt {32} \)

\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}EF \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {32}  \cdot b = 2\sqrt 2 b\)

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array} \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)} \right.\).

Khi đó \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)\( = \frac{1}{3}AF \cdot {S_{BDF}} + \frac{1}{3} \cdot CF \cdot {S_{BDF}}\)

\( = \frac{1}{3} \cdot {S_{BDF}} \cdot \left( {AF + CF} \right) = \frac{1}{3} \cdot {S_{BDF}} \cdot AC\)\( = \frac{1}{3}a \cdot 2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\).

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8 \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 } \right..\)

Đáp án: \[\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\].

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Để tăng nhiệt độ trong phòng từ \(28^\circ {\rm{C}}\), một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi \(T\) (đơn vị \(^\circ C\)) là nhiệt độ phòng ở phút thứ \(t\) được cho bởi công thức \(T =  - 0,008{t^3} - 0,16t + 28\) với \(t \in \left[ {1\,;\,\,10} \right].\) Nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống bắt đầu hoạt động là bao nhiêu độ C?

Xem đáp án » 13/07/2024 22,325

Câu 2:

Dân cư nông thôn của nước ta có đặc điểm nào sau đây?

Xem đáp án » 29/06/2024 21,447

Câu 3:

Media VietJack
Đường gấp khúc ABC trong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,\,3} \right].\) Khi đó, tích phân \(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Xem đáp án » 19/06/2024 8,665

Câu 4:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\) Mặt phẳng \(\left( P \right):x + ay + bz + c = 0\,\,\,(c > 0)\) song song với \({d_1},\,\,{d_2}\) và khoảng cách từ \({d_1}\) đến \(\left( P \right)\) bằng 2 lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến \(\left( P \right)\). Tính

Xem đáp án » 11/07/2024 2,244

Câu 5:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(0) = 0\) và \(f'\left( x \right)\left( {1 + {e^{f\left( x \right)}}} \right) = 1 + {e^x},\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 3\) bằng

Xem đáp án » 13/07/2024 1,984

Câu 6:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho ba điểm \[A\left( {3\,;\,\,5\,;\, - 1} \right),\,\,B\left( {7\,;\,\,x\,;\,\,1} \right)\] và \(C\left( {9\,;\,\,2\,;\,\,y} \right).\) Để ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng thì giá trị \(x + y\) bằng

Xem đáp án » 18/06/2024 1,914

Câu 7:

Đại hội Quốc dân họp ở Tân Trào (8-1945) đã quyết định thành lập

Xem đáp án » 29/06/2024 1,823