Cho khối tứ diện [ABCD ] có cạnh [AC ] và [BD ] thoả mãn (A{C^2} + B{D^2} = 16 ) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện [ABCD ] đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đ...

Gọi [E, , ,F ] lần lượt là trung điểm của [BD, , ,AC. ] Giả sử [AC = a ,; , ,BD = b ], theo giả thiết ta có ({a^2} + {b^2} = 16 , ,(a,b > 0) ) Xét ( Delta ABC ) và ( Delta ADC ) có: AC chung; (AB = AD ); (BC = CD ). Do đó ( Delta ABC = Delta ADC , ,(c.c.c) ) Suy ra (BF = GF ) (hai trung tuyến tương ứng). Ta có (BF = sqrt {A{B^2} - A{F^2}} = sqrt {{6^2} - {{ left( { frac{a}{2}} right)}^2}} = sqrt {36 - frac{{{a^2}}}{4}} ) (EF = sqrt {B{F^2} - B{E^2}} = sqrt {36 - frac{{{a^2}}}{4} - frac{{{b^2}}}{4}} = sqrt {36 - frac{{16}}{4}} = sqrt {32} ) ( Rightarrow {S_{BDF}} = frac{1}{2}EF cdot BD = frac{1}{2} cdot sqrt {32} cdot b = 2 sqrt 2 b ) Lại có ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{AC bot BF} {AC bot DF} end{array} Rightarrow AC bot left( {BDF} right)} right. ). Khi đó ({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}} ) ( = frac{1}{3}AF cdot {S_{BDF}} + frac{1}{3} cdot CF cdot {S_{BDF}} ) ( = frac{1}{3} cdot {S_{BDF}} cdot left( {AF + CF} right) = frac{1}{3} cdot {S_{BDF}} cdot AC ) ( = frac{1}{3}a cdot 2 sqrt 2 b = frac{{2 sqrt 2 }}{3}ab ). Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: (ab le frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = frac{{16}}{2} = 8 Rightarrow {V_{ABCD}} le frac{{2 sqrt 2 }}{3}.8 = frac{{16 sqrt 2 }}{3} ). Vậy ({V_{ max }} = frac{{16 sqrt 2 }}{3} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{a = b} {{a^2} + {b^2} = 16} end{array} Leftrightarrow a = b = 2 sqrt 2 } right.. ) Đáp án: [ frac{{16 sqrt 2 }}{3} ].