Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + \frac{{13}}{2}{x^2} - 12x - {e^x} - 2022.\) Bất phương trình ẩn \(m\) sau đây \(f\left[ {{{\log }_{0,5}}\left( {{{\log }_2}\left( {2m + 1} \right)} \right) - 2021} \right] < \left[ {f\left( 0 \right)} \right]\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 14

B. 10

C. 11

D. 7

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 13x - 12 - {e^x} < 0,\,\,\forall x.\)

Do đó \(f\left[ {{{\log }_{0,5}}\left( {{{\log }_2}\left( {2m + 1} \right)} \right) - 2021} \right] < f\left[ {f\left( 0 \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow {\log _{0,5}}\left( {{{\log }_2}(2m + 1)} \right) - 2021 > f\left( 0 \right) = - 2023\)

\( \Leftrightarrow {\log _{0,5}}\left( {{{\log }_2}(2m + 1)} \right) > - 2\)

\( \Leftrightarrow 0 < {\log _2}(2m + 1) < {(0,5)^{ - 2}} = 4 \Leftrightarrow 1 < 2m + 1 < 16\)

\( \Leftrightarrow 0 < m < \frac{{15}}{2} \Rightarrow m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7} \right\}.\) Chọn D.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hưng đang trên chiếc thuyền tại vị trí \[A\] cách bờ sông \(2\;\,{\rm{km}}\), bạn dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm \({\rm{B}}\) tọa lạc ven bờ sông, \({\rm{B}}\) cách vị trí \[O\] trên bờ gần với thuyền nhất là \(4\;\,{\rm{km}}\) (hình vẽ). Biết rằng bạn Hưng chèo thuyền với vậntốc \(6\;\,{\rm{m}}/{\rm{h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10\;\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Khoảng thời gian ngắn nhất để bạn Hưng từ vị trí xuất phát đến được điểm B là\[A\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 3} \right).\]

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	0	\(\frac{3}{2}\)	4
\(t'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(t\left( x \right)\)	\(\frac{{11}}{{15}}\)		\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
		\(\frac{2}{3}\)

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Câu 2