Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại \(A\) tại \(B\) có \(AB = 1\,,\,\,AD = 3\) và \(BC = x\) với \(0 < x < 3.\) Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang \[ABCD\] (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng \[BC\] và \[AD.\] Tìm \[x\] để \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{5}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Dựng các điểm \[E,\,\,F\] để có các hình chữ nhật \[ABED\] và \[ABCF\] như hình vẽ.

• TH1: Khi quay hình thang \[ABCD\] (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng \[BC\] ta được khối tròn xoay có thể tích là \({V_1} = {V_3} - {V_4} = 3\pi - \frac{1}{3}\pi \left( {3 - x} \right) = 2\pi + \frac{1}{3}\pi x = \frac{1}{3}\pi \left( {6 + x} \right).\)

Trong đó, \({V_3}\) là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 1 , chiều cao bằng \(3;{V_4}\) là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 1, chiều cao bằng \(3 - x.\)

• TH2: Khi quay hình thang \[ABCD\] (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng \[AD\] ta được khối tròn xoay có thể tích là \({V_2} = {V_5} + {V_4} = \pi x + \frac{1}{3}\pi \left( {3 - x} \right) = \pi + \frac{2}{3}\pi x = \frac{1}{3}\pi \left( {3 + 2x} \right).\)

Trong đó, \({V_5}\) là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 1 , chiều cao bằng x.

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{5} \Leftrightarrow \frac{{6 + x}}{{3 + 2x}} = \frac{7}{5} \Leftrightarrow x = 1.\)

Đáp án: 1.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hưng đang trên chiếc thuyền tại vị trí \[A\] cách bờ sông \(2\;\,{\rm{km}}\), bạn dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm \({\rm{B}}\) tọa lạc ven bờ sông, \({\rm{B}}\) cách vị trí \[O\] trên bờ gần với thuyền nhất là \(4\;\,{\rm{km}}\) (hình vẽ). Biết rằng bạn Hưng chèo thuyền với vậntốc \(6\;\,{\rm{m}}/{\rm{h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10\;\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Khoảng thời gian ngắn nhất để bạn Hưng từ vị trí xuất phát đến được điểm B là\[A\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 3} \right).\]

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	0	\(\frac{3}{2}\)	4
\(t'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(t\left( x \right)\)	\(\frac{{11}}{{15}}\)		\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
		\(\frac{2}{3}\)

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Câu 2