Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{ax - 2}}\,\,\left( {ab \ne  - 2} \right).\) Biết rằng \[a\,,\,\,b\] là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1\,;\, - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0.\) Khi đó, giá trị của \(a - 3b\) bằng

Ta có \(y' = \frac{{ - ab - 2}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}.\)

Do \(A\left( {1\,;\, - 2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \(\frac{{1 + b}}{{a - 2}} =  - 2 \Leftrightarrow b = 3 - 2a.\)

Do tiếp tuyến tại \(A\left( {1\,;\, - 2} \right)\) song song với \(d:3x + y - 4 = 0\)

Nên suy ra \[y'\left( 1 \right) =  - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - ab - 2}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} =  - 3\].

Thay \(b = 3 - 2a\) ta được phương trình

\( - a\left( {3 - 2a} \right) - 2 =  - 3{\left( {a - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 5{a^2} - 15a + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{a = 2}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

• Với \(a = 2 \Rightarrow b =  - 1\) (loại, do \(ab \ne  - 2\)).

• Với \(a = 1 \Rightarrow b = 1.\) Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( {1\,;\, - 2} \right)\) là \(y =  - 3(x + 1) + 2\) song song với d.

Vậy \(a = 1\,,\,\,b = 1 \Rightarrow a - 3b =  - 2.\) Chọn A.