Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12 C lần lượt là A, B, C.

Ta xếp 5 học sinh lớp 12C trước.

• TH1: C - C - C - C - C - (quy ước vị trí của - là vị trí trống)

Đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có \[5!\] cách xếp.

Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí trống ta có \[5!\] cách xếp.

Vậy trường hợp này có \[5!\,\, \cdot \,5!\] cách.

• TH2: - C - C - C - C - C, tương tự như trường hợp 1 ta có 5!.5! cách.

• TH3: C - C - C - C - - C, đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! cách xếp.

Ta có 2 vị trí trống liền nhau, chọn 1 học sinh lớp 12A và 1 học sinh lớp 12B để xếp vào 2 vị trí trống đó, 2 học sinh này có thể đổi chỗ cho nhau nên có \(C_2^1 \cdot C_3^1 \cdot 2! = 12\) cách.

Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 chỗ trống có 3 ! Cách.

Vậy trường hợp này có \[5!\,\,.\,12\,.\,3!\] cách.

• TH4: C - C - C - - C-C

• TH5: C - C - - C - C - C - C

• TH6: C - - C - C - C

Ba trường hợp 4, 5, 6 có cách xếp giống trường hợp 3.

Vậy có tất cả \[5!\,\,.\,\,5!\,\,.\,\,2 + 4\,.\,\,5!\,\,.\,\,12\, \cdot 3! = 63\,\,360\] (cách).

Đáp án: \[{\bf{63}}\,\,{\bf{360}}\].