Câu hỏi:

19/06/2024 172

Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}} \right]\), đồng thời thỏa mãn \(f'\left( 0 \right) = 0,\) \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}.\) Tính \(T = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right).\)

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 3) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \(f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right] = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \tan x + C.\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f\left( 0 \right) = 1}\end{array} \Rightarrow C = 0.} \right.\)

Dó đó \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \tan x \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( { - \tan x} \right)\;{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} \)

\[\left. { \Leftrightarrow \ln f\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \left. {\ln \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} \Leftrightarrow \ln f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - \ln f\left( 0 \right) = \ln \frac{1}{2} - \ln 1 \Leftrightarrow f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}.\]

Vậy \(T = \frac{1}{2}.\) Đáp án: \[\frac{1}{2}\].

Bình luận

Câu 1:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}},\,\,f'(1) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{12}}.\) Khi đó, giá trị của \(2a + b\) bằng

A. \( - \frac{3}{2}.\)

B. 0.

C. 5.

D. \(\frac{3}{2}.\)

Xem đáp án » 19/06/2024 9,585

Câu 2:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( { - 2\,;\,\,4\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right..\) Gọi \((S)\) là mặt cầu đi qua \[A,\,\,B\] và có tâm thuộc đường thẳng \[d.\] Bán kính mặt cầu \((S)\) bằng

A. \(3\sqrt 3 .\)

B. \(\sqrt 6 .\)

C. 3.

D. \(2\sqrt 3 .\)

Xem đáp án » 19/06/2024 5,678

Câu 3:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \[A\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\] và mặt phẳng \((P):x + y + 3z - 14 = 0.\) Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại \[M.\] Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

Xem đáp án » 11/07/2024 3,475

Câu 4:

Đọc đoạn trích sau và trả lời câu hỏi:

Tiếng ai tha thiết bên cồn

Bâng khuâng trong dạ, bồn chồn bước đi

Áo chàm đưa buổi phân ly

Cầm tay nhau biết nói gì hôm nay...

(Việt Bắc – Tố Hữu)

Biện pháp tu từ nào được sử dụng trong câu thơ “Áo chàm đưa buổi phân li”?

A. Ẩn dụ.

B. Hoán dụ.

C. Nhân hóa.

D. So sánh.

Xem đáp án » 06/08/2024 2,642

Câu 5:

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:

Thời gian chạy qua tóc mẹ

Một màu trắng đến nôn nao

Lưng mẹ cứ còng dần xuống

Cho con ngày một thêm cao.

(Trong lời mẹ hát – Trương Nam Hương)

Biện pháp nghệ thuật nào được sử dụng trong câu thơ: “Thời gian chạy qua tóc mẹ”?

A. so sánh.

B. nhân hóa.

C. ẩn dụ.

D. hoán dụ.

Xem đáp án » 06/08/2024 2,046

Câu 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2021\,;\,\,2021} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng?

Xem đáp án » 19/06/2024 1,703

Câu 7:

Nguyên nhân chủ yếu tạo nên sự khác biệt về trình độ phát triển kinh tế-xã hội giữa nhóm nước phát triển với đang phát triển là

A. thành phần dân tộc và tôn giáo.

B. quy mô và cơ cấu dân số.

C. trình độ khoa học-kĩ thuật.

D. nguồn tài nguyên thiên nhiên.

Xem đáp án » 06/08/2024 1,592

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Bình luận

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}},\,\,f'(1) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{12}}.\) Khi đó, giá trị của \(2a + b\) bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2021\,;\,\,2021} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng?

Nguyên nhân chủ yếu tạo nên sự khác biệt về trình độ phát triển kinh tế-xã hội giữa nhóm nước phát triển với đang phát triển là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}},\,\,f'(1) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{12}}.\) Khi đó, giá trị của \(2a + b\) bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2021\,;\,\,2021} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng?

Nguyên nhân chủ yếu tạo nên sự khác biệt về trình độ phát triển kinh tế-xã hội giữa nhóm nước phát triển với đang phát triển là

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu