Câu hỏi:
19/06/2024 181
Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}} \right]\), đồng thời thỏa mãn \(f'\left( 0 \right) = 0,\) \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}.\) Tính \(T = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right).\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}} \right]\), đồng thời thỏa mãn \(f'\left( 0 \right) = 0,\) \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}.\) Tính \(T = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right).\)
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có \(f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right] = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \tan x + C.\)
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f\left( 0 \right) = 1}\end{array} \Rightarrow C = 0.} \right.\)
Dó đó \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \tan x \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( { - \tan x} \right)\;{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} \)
\[\left. { \Leftrightarrow \ln f\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \left. {\ln \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} \Leftrightarrow \ln f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - \ln f\left( 0 \right) = \ln \frac{1}{2} - \ln 1 \Leftrightarrow f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}.\]
Vậy \(T = \frac{1}{2}.\) Đáp án: \[\frac{1}{2}\].
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[f'\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow a + b = 3\]. (1)
Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng \[\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\], các điểm \(x = 1,x = \frac{1}{2}\) đều thuộc \((0; + \infty )\) nên
\(f(x) = \int {f'} (x){\rm{d}}x = \int {\left( {a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}}} \right)} \,\,{\rm{d}}x = \frac{{a{x^3}}}{3} - \frac{b}{{2{x^2}}} + C.\)
• \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2\). (2)
• \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{12}} \Rightarrow \frac{a}{{24}} - 2b + C = - \frac{1}{{12}}\). (3).
Từ (1), (2) và (3) ta được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 3}\\{\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2}\\{\frac{a}{{24}} - 2b + C = - \frac{1}{{12}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 1}\\{C = \frac{{11}}{6}}\end{array} \Rightarrow 2a + b = 2 \cdot 2 + 1 = 5.} \right.} \right.\)
Chọn C.
Lời giải
Gọi I là tâm của mặt cầu \((S),\,\,I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t\,;\,\,1 + 2t\,;\,\, - 2 + t} \right).\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( {3 + t\,;\,\, - 3 + 2t\,;\,\, - 3 + t} \right)\,;\,\,\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t\,;\,\,1 + 2t\,;\,\, - 5 + t} \right)\)
Vì (S) đi qua \[A,\,\,B\] nên ta có \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)
\[ \Leftrightarrow {(3 + t)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\]
\( \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3\,;\,\, - 3\,;\,\, - 3} \right).\)
Vậy bán kính mặt cầu \[(S)\] là \[R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\] Chọn A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.