Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0\) có đúng 5 nghiệm nguyên?

Xét bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0\)

− TH1: Xét \({3^{{x^2} - x}} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) là nghiệm của bất phương trình.

− TH2: Xét \({3^{{x^2} - 2}} - 9 > 0 \Leftrightarrow {x^2} - x > 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x <  - 1}\\{x > 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó (1) \( \le 0 \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} - m \le 0 \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \le m \Leftrightarrow {x^2} \le {\log _2}m\) (2).

• Nếu \(m < 1\) bất phương trình vô nghiệm.

• Nếu \(m \ge 1\) thì \((2) \Leftrightarrow  - \sqrt {{{\log }_2}m}  \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m} \).

Do đó, để bất phương trình (1) có 5 nghiệm nguyên

\[ \Leftrightarrow \left( {\left( { - \infty \,;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2\,;\,\, + \infty } \right)} \right) \cap \left[ { - {{\log }_2}m\,;\,\,{{\log }_2}m} \right]\] có 3 giá trị nguyên.

\(\sqrt {{{\log }_2}m}  \in \left[ {3\,;\,\,4} \right) \Leftrightarrow 512 \le m < 65\,\,536.\)

Suy ra có 65024 giá trị \(m\) nguyên thoả mãn.

− TH3: Xét \({3^{{x^2} - 2}} - 9 < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x < 2 \Leftrightarrow  - 1 < x < 2.\)

Vì \(\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\) chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị \(m\) nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên. Vậy có tất cả \[65\,\,024\] giá trị \(m\) nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \[65\,\,024\].