Câu hỏi:
19/06/2024 28Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|.\) Tính \[min\left| w \right|,\] với số phức \(w = z - 2 + 2i.\)
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có \({z^2} - 2z + 5 = {\left( {z - 1} \right)^2} + 4 = {\left( {z - 1} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = \left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right).\)
Khi đó, giả thiết \[ \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \cdot \left| {z + 3i - 1} \right|\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 1 - 2i}\\{\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|}\end{array}} \right.\]
• TH1: Với \(z = 1 - 2i\), ta có \(w = z - 2 + 2i = 1 - 2i - 2 + 2i = - 1 \Rightarrow \left| w \right| = 1.\)
• TH2: Với \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\,\,(*)\), đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có \((*) \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x - 1 + \left( {y + 3} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {y^2} - 4y + 4 = {y^2} + 6y + 9 \Leftrightarrow 10y = - 5 \Rightarrow y = - \frac{1}{2}.\)
Do đó \[w = z - 2 + 2i = x - \frac{1}{2}i - 2 + 2i = x - 2 + \frac{3}{2}i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \frac{9}{4}} \ge \frac{3}{2}.\]
Vậy \(\min \left| w \right| = 1.\) Đáp án: 1.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2021\,;\,\,2021} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng?
Câu 2:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}},\,\,f'(1) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{12}}.\) Khi đó, giá trị của \(2a + b\) bằng
Câu 3:
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\sqrt {{x^4} - 4} = y + 5\) và đường thẳng \(y = x\) là
Câu 4:
Trong không gian \[Oxyz,\] cho tam giác \[ABC\] có \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right),\,\) \(B\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right),\,\)\(C\left( { - 4\,;\,\,7\,;\,\,5} \right).\) Gọi \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \[ABC\]. Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng
Câu 5:
Cho hình chóp \[S.ABCD.\] Gọi \[I,\,\,J,\,\,K,\,\,H\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\]\[\,SD.\] Tính thể tích khối chóp \[S.ABCD\] biết thể tích khối chóp \[S.IJKH\] bằng 1.
Câu 6:
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Thời gian chạy qua tóc mẹ
Một màu trắng đến nôn nao
Lưng mẹ cứ còng dần xuống
Cho con ngày một thêm cao.
(Trong lời mẹ hát – Trương Nam Hương)
Câu 7:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - x - 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,2} \right]\) bằng
về câu hỏi!