Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông \[ABCD\] cạnh bằng \(2\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\) với \[AB\] là đường kính của đường tròn đáy tâm \[O.\] Gọi \[M\] là điểm thuộc cung của đường tròn đáy sao cho \(\widehat {ABM} = 60^\circ .\) Thể tích của khối tứ diện \[ACDM\] là

A. \(V = 3\,\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

B. \(V = 4\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

C. \(V = 6\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

D. \(V = 7\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 5) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Hạ đường cao \(MH\) xuống \(AB.\)

Khi đó \({V_{ACDM}} = \frac{1}{3}MH \cdot {S_{ACD}} & (1)\)

\(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) có \(AD = DC = 2\sqrt 3 \,cm\) nên

\({S_{ACD}} = \frac{1}{2}AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2\sqrt 3 } \right) \cdot \left( {2\sqrt 3 } \right) = 6\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) & (2)\)

Do \(\widehat {ABM} = 60^\circ \) và \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\) \((AB\) là đường kính của đáy) nên ta có \(AM = AB\sin \widehat {ABM} = 2\sqrt 3 \sin 60^\circ = 3\,\,(cm)\).

Áp dụng định lí Pythagore cho \[\Delta AMB\] ta có

\(MB = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {3^2}} = \sqrt 3 \,\,(cm).\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(ABM\), ta có

\[\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{M{B^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{4}{9}\]. Suy ra \[MH = \frac{3}{2}\,\,cm. & (3)\]

Thay (2), (3) vào (1) ta được \({V_{ACDM}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 6 = 3\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\) Chọn A.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5cm khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức \(y = 3 - \frac{2}{5}x\,\,({\rm{cm}})\), với \(x\,\,({\rm{cm}})\) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Thể tích (theo đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) bằng

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Xét trên một thiết diện parabol có chiều cao là \(h\) và độ dài đáy là \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.

Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left( P \right):y = a{x^2} + h\,\,(a < 0)\)

Có \[B\left( {h\,;\,\,0} \right) \in (P) \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\] (do \(h > 0)\)

Diện tích \(S\) của thiết diện là: \(S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{{4{h^2}}}{3},\,\,h = 3 - \frac{2}{5}x\)\( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}.\)

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

\(V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}} {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}dx \approx 28,888\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)\( \Rightarrow V \approx 29\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = 0.\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng 1 đường tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) có một nghiệm kép hoặc phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0}\\{{m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - \frac{{13}}{4}}\\{m = 3}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\).

Vậy có ba giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu đề bài. Chọn C.

Câu 3