Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \[a.\] Gọi \[I,\,\,J\] lần lượt là trung điếm của \[BC\] và \[AD.\] Khoảng cách \(d\) giữa hai mặt phẳng \(\left( {AIA'} \right)\) và \(\left( {CJC'} \right)\) là

A. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}.\)

B. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

C. \(d = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}.\)

D. \(d = \frac{a}{5}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 5) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}IC\, = \,AJ\\IC\,{\rm{//}}\,AJ\end{array} \right. \Rightarrow ICJA\] là hình bình hành \[ \Rightarrow CJ\,{\rm{//}}\,IA.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}AI\,\,{\rm{//}}\,CJ\\CJ \subset \left( {CJC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AI\,{\rm{//}}\,\left( {CJC'} \right)\]

\[\left\{ \begin{array}{l}AA'\,\,{\rm{//}}\,CC'\\CC' \subset \left( {CJC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA'\,{\rm{//}}\,\left( {CJC'} \right)\]

Do đó \[\left( {CJC'} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {AIA'} \right)\]. Khi đó \(d\left( {\left( {AIA'} \right),\,\,\left( {CJC'} \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\left( {CJC'} \right)} \right){\rm{. }}\)

Kẻ \(IH \bot CJ\,\,\left( {H \in CJ} \right)\) nên \(IH \bot \left( {CJC'} \right)\). Khi đó, \(d\left( {I,\,\,\left( {CJC'} \right)} \right) = IH\).

Xét cặp tam giác vuông \(\Delta IBA\) và \(\Delta CHI\) có \(\widehat {ICH} = \widehat {AIB}\) nên

\(\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{IH}} \Rightarrow IH = \frac{{BA \cdot IC}}{{AI}} = \frac{{a \cdot \frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\). Chọn C.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5cm khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức \(y = 3 - \frac{2}{5}x\,\,({\rm{cm}})\), với \(x\,\,({\rm{cm}})\) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Thể tích (theo đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) bằng

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Xét trên một thiết diện parabol có chiều cao là \(h\) và độ dài đáy là \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.

Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left( P \right):y = a{x^2} + h\,\,(a < 0)\)

Có \[B\left( {h\,;\,\,0} \right) \in (P) \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\] (do \(h > 0)\)

Diện tích \(S\) của thiết diện là: \(S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{{4{h^2}}}{3},\,\,h = 3 - \frac{2}{5}x\)\( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}.\)

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

\(V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}} {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}dx \approx 28,888\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)\( \Rightarrow V \approx 29\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = 0.\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng 1 đường tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) có một nghiệm kép hoặc phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0}\\{{m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - \frac{{13}}{4}}\\{m = 3}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\).

Vậy có ba giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu đề bài. Chọn C.

Câu 3